bzoj1010

最新推荐文章于 2021-10-24 10:28:04 发布

Notokkkkkk

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分类专栏： 2016.11 bzoj

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本文详细介绍了如何使用斜率优化技巧解决一类特定的动态规划问题。通过数学推导，我们得知在特定条件下如何有效地筛选候选状态，从而将复杂度降低至O(n)。文中提供了完整的代码实现，并附带了对斜率和截距概念的理解帮助。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这道题的初始方程很容易推。

f[i]=min { f[j]+(cost(j+1,i)-L)^2}

其中，f[i]表示前i个东西放在容器里的最小代价

cost表示把j+1到i这些东西都放在一个容器的长度，可以用前缀和s来维护

但是时间上还不够，这时可以用一个斜率优化。

对于j1<j2<i

对于i来说，如果j2这个点更优于j1，那么从今以后j1都没有用了，把它剔除出去。

这样对于我们的取最优值j的范围就缩小了很多很多，就可以在O(n)里解决这道题。

至于如何证明，可以参考网上其它的论文（把j代进DP方程中，列一个不等式。）

对于t>i，s[t]=s[i]+v，这样代进DP里，通过一系列数学方法（加减乘除）易证。

那么最终我们能得到一个式子形如(y2-y1) / (x2-x1) <= 2*(s[i]-L)

左边这便是一次函数中k值的公式，也叫作斜率。

接下来可以参考

http://blog.sina.com.cn/mektpoy

这人博客中的截距斜率的关系讲的很清楚

那么我们就要维护一个下凸壳，用双向队列实现

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
long long f[50005];
long long q[50005];
long long s[50005];
double Y(int j)
{
 return f[j]+s[j]*s[j]; 
}
double X(int j)
{
 return s[j];   
}
double slop(int j1,int j2)
{
 return (Y(j2)-Y(j1))/(X(j2)-X(j1));
}
int main()
{
    int n,L;
    scanf("%d%d",&n,&L);L++;
    s[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
     long long soy;
     scanf("%lld",&soy);
     s[i]=s[i-1]+soy+1; 
    }
    int l=1,r=1;q[1]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
     while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=2.0*(s[i]-L))l++;
     int j=q[l];
     f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]-L)*(s[i]-s[j]-L);
     while(l<r&&slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i))r--;
     q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}