读《微波工程(第三版)》笔记 (8：互易定理与镜像理论)

先搞两个定理，至于媒质分界面上电磁波的反射，先不想记了，之后再记

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往期整理：
笔记
0:介绍
1:麦克斯韦方程组
2:介质中的场
3:介质中的边界条件
4:波方程和基本平面波的解
5:平面波的通解；补充
6:电磁场能量(坡印廷定理)
7:分界面上电磁波的反射
8:互易定理与镜像理论(本期)
例题：
第一次

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互易定理

互异性是存在于物理学和工程很多领域的一个普遍概念。

电路中的互易定理

电路中的互易定理一般指：

只含一个电压源（或电流源），不含受控源的线性电阻电路中，电压源（或电流源）与电流表（电压表）互换位置，电流表（电压表）读数不变。

如果将电压电流源看作“输入”，电表看作“输出”，那么就是：

将网络的输入和特定输出互换位置后,输出不因这种换位而有所改变。

电磁学中的互易定理

事实上，还有“卡森互易定理”，但是这里不作分析。

普遍性式

考虑由封闭表面$S$围成的体积$V$内的两组分开的源$\overrightarrow{J_1},\overrightarrow{M_1}$和$\overrightarrow{J_2},\overrightarrow{M_2}$，分别产生的场为$\overrightarrow{E_1},\overrightarrow{H_1}$和$\overrightarrow{E_2},\overrightarrow{H_2}$。两组源和场分别满足麦克斯韦方程组，写出他们的旋度方程:

$$\begin{array}{rl}& \nabla \times \overrightarrow{E_1}=-j\omega \mu \overrightarrow{H_1}-\overrightarrow{M_1}\\ & \nabla \times \overrightarrow{H_1}=j\omega ϵ\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{J_1}\\ & \nabla \times \overrightarrow{E_2}=-j\omega \mu \overrightarrow{H_2}-\overrightarrow{M_2}\\ & \nabla \times \overrightarrow{H_2}=j\omega ϵ\overrightarrow{E_2}+\overrightarrow{J_2}\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

考虑量$\nabla \cdot (\overrightarrow{E_1}\times \overrightarrow{H_2}-\overrightarrow{E_2}\times \overrightarrow{H_1})$，可以展开得到：

$$\nabla \cdot (\overrightarrow{E_1}\times \overrightarrow{H_2}-\overrightarrow{E_2}\times \overrightarrow{H_1})=\overrightarrow{J_1}\cdot \overrightarrow{E_2}-\overrightarrow{J_2}\cdot \overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{M_2}\cdot \overrightarrow{H_1}-\overrightarrow{M_1}\cdot \overrightarrow{H_2}\text{\hspace{1em}(8.2)}$$

在整个体积$V$内对式(8.2)积分，可得：

$$\begin{gathered} {\int }_V\nabla \cdot (\overrightarrow{E_1}\times \overrightarrow{H_2}-\overrightarrow{E_2}\times \overrightarrow{H_1})dv={\oint }_S(\overrightarrow{E_1}\times \overrightarrow{H_2}-\overrightarrow{E_2}\times \overrightarrow{H_1})ds \\ ={\int }_V(\overrightarrow{J_1}\cdot \overrightarrow{E_2}-\overrightarrow{J_2}\cdot \overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{M_2}\cdot \overrightarrow{H_1}-\overrightarrow{M_1}\cdot \overrightarrow{H_2})dv\text{\hspace{1em}(8.3)} \end{gathered}$$

式(8.3)就是洛伦茨互易定理的普遍形式。

特殊情况

对几种特殊情况下的洛伦茨互易定理进行分析

$S$曲面封闭且无源

这时，有$\overrightarrow{J_1}=\overrightarrow{J_2}=\overrightarrow{M_1}=\overrightarrow{M_2}=0$，则场$\overrightarrow{E_1},\overrightarrow{E_2},\overrightarrow{H_1},\overrightarrow{H_2}$为无源场，且式(8.2)等号右侧为0，所以互易定理可以化简为：

$${\oint }_S\overrightarrow{E_1}\times \overrightarrow{H_2}\cdot ds={\oint }_S\overrightarrow{E_2}\times \overrightarrow{H_1}\cdot ds\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

式(8.4)可以用来阐明互易微波网络的阻抗矩阵对称性。

$S$曲面为理想导体

例如曲面是理想导电封闭腔的内表面。那么式(8.3)的曲面积分为0，所以最后一个等号右边体积分为0，可以得到：

$${\int }_V(\overrightarrow{J_2}\cdot \overrightarrow{E_1}-\overrightarrow{M_2}\cdot \overrightarrow{H_1})dv={\int }_V(\overrightarrow{J_1}\cdot \overrightarrow{E_2}-\overrightarrow{M_1}\cdot \overrightarrow{H_2})dv\text{\hspace{1em}(8.5)}$$

式(8.5)则颇有电路中互易定理的意思。

换言之，系统的响应$\overrightarrow{E_1}，\overrightarrow{E_2}$不会随着源点和场点的交换而改变；如：由$\overrightarrow{J_1}$在$\overrightarrow{J_2}$处产生的场$\overrightarrow{E_1}$与由$\overrightarrow{J_2}$在$\overrightarrow{J_1}$处产生的场$\overrightarrow{E_2}$是相等的。

$S$为无限远处的球面

表面极其远，可以局域地考虑成平面波，可以引入波阻抗来表征电磁场的关系：$\overrightarrow{H}=\hat{n}\times \overrightarrow{E}/\eta$。因此可以得到：

$$\begin{gathered} (\overrightarrow{E_1}\times \overrightarrow{H_2}-\overrightarrow{E_2}\times \overrightarrow{H_1})\cdot \hat{n}=(\hat{n}\times \overrightarrow{E_1})\cdot \overrightarrow{H_2}-(\hat{n}\times \overrightarrow{E_2})\cdot \overrightarrow{H_1} \\ =\frac{1}{\eta }\overrightarrow{H_1}\cdot \overrightarrow{H_2}-\frac{1}{\eta }\overrightarrow{H_2}\cdot \overrightarrow{H_1}=0\text{\hspace{1em}(8.6)} \end{gathered}$$

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镜像理论

当源位于接地导电平面附近，则会存在反射的影响，使问题较难直接分析。而镜像理论允许把接地平面拿开，将其影响用平面另一端一个（或多个）虚拟的镜像源来替代。

有一个平行于地面的，无限大的，布有表面电流密度$\overrightarrow{J_s}=J_{s0}\hat{x}$的平面，放置于$z=d$处。由于它作为电流源是无限延伸且在$x,y$方向都是均匀的，因此它会激励出平面波。

负向(向z<0)传播的波将在分界面(z=0)处反射，反射波会正向(向z>0)传播。因此，在$0<z<d$将形成驻波，在$z>d$处则是正向传输波。用$s$上标代表驻波(Standing wave)，$+$上标代表正向传输波，可以写出下面的式子：

$$E_x^s=A(e^{j{k}_{0}z}-e^{-j{k}_{0}z}),0<z<d\text{\hspace{1em}(8.7a)}$$$$H_y^s=-\frac{A}{{\eta }_0}(e^{j{k}_{0}z}+e^{-j{k}_{0}z}),0<z<d\text{\hspace{1em}(8.7b)}$$$$E_x^{+}=B{e}^{-j{k}_{0}z},z>d\text{\hspace{1em}(8.7c)}$$$$H_y^{+}=\frac{B}{{\eta }_0}{e}^{-j{k}_{0}z},z>d\text{\hspace{1em}(8.7d)}$$

考虑到边界条件。$z=0$处，表面电场切向连续已经由式(8.5a)满足。$z=d$处也需要电场的连续性和磁场的不连续性（因为存在电流源）。

电场的连续性可得：

$$E_x^s=E_x^{+},z=d\text{\hspace{1em}(8.8)}$$

因此

$$A(e^{j{k}_{0}d}-e^{-j{k}_{0}d})=B{e}^{-j{k}_{0}d}\stackrel{\Rightarrow }{}$$$$2jA\sin (k_{0}d)=B{e}^{-j{k}_{0}d}\text{\hspace{1em}(8.9)}$$

再利用磁场切向边界条件：

$$\overrightarrow{J_s}=\hat{z}\times \hat{y}(H_y^{+}-H_y^s){|}_{z=0}\text{\hspace{1em}(8.10)}$$

结合题设$\overrightarrow{J_s}=J_{s0}\hat{x}$可得：

$$J_{s0}=-\frac{B}{{\eta }_0}{e}^{-j{k}_{0}d}-\frac{2A}{{\eta }_0}cos(k+0d)\text{\hspace{1em}(8.11)}$$

联立式(8.9)和式(8.11)可解得：

$$\begin{array}{rl}& A=\frac{-J_{s0}{\eta }_0}{2}{e}^{-j{k}_{0}d}\\ & B=-j{J}_{s0}{\eta }_{0}sin(k_{0}d)\end{array}\text{\hspace{1em}(8.12)}$$

因此总场为：

$$E_x^s=-j{J}_{s0}{\eta }_0{e}^{-j{k}_{0}d}sin(k_{0}z),0<z<d\text{\hspace{1em}(8.13a)}$$$$H_y^s=J_{s0}{e}^{-j{k}_{0}d}cos(k_{0}z),0<z<d\text{\hspace{1em}(8.13b)}$$$$E_x^{+}=-j{J}_{s0}{\eta }_0{e}^{-j{k}_{0}z}sin(k_{0}z),z>d\text{\hspace{1em}(8.13c)}$$$$H_y^{+}=-j{J}_{s0}{e}^{-j{k}_{0}d}sin(k_{0}z),z>d\text{\hspace{1em}(8.13d)}$$

此时，如果把导体平面去除，而在$z=-d$引入一块带$-\overrightarrow{J_s}$的镜像源平面，则会发现：
由源产生的场：

$$E_x=\{\begin{array}{l}\frac{-J_{s0}{\eta }_0}{2}{e}^{-j{k}_0(z-d)},z>d\\ \frac{-J_{s0}{\eta }_0}{2}{e}^{j{k}_0(z-d)},z<d\end{array}$$$$H_y=\{\begin{array}{l}\frac{-J_{s0}}{2}{e}^{-j{k}_0(z-d)},z>d\\ \frac{J_{s0}}{2}{e}^{j{k}_0(z-d)},z<d\end{array}$$

而镜像源的场：

$$E_x^{{}^{\prime }}=\{\begin{array}{l}\frac{J_{s0}{\eta }_0}{2}{e}^{-j{k}_0(z+d)},z>d\\ \frac{J_{s0}{\eta }_0}{2}{e}^{j{k}_0(z+d)},z<d\end{array}$$$$H_y^{{}^{\prime }}=\{\begin{array}{l}\frac{J_{s0}}{2}{e}^{-j{k}_0(z+d)},z>d\\ \frac{-J_{s0}}{2}{e}^{j{k}_0(z+d)},z<d\end{array}$$

如果将两者叠加，会发现在$0<z<d$和$z>d$处的解和式(8.13)是相同的。

以上，就证明了镜像理论的正确性。而这也同样适用于电偶极子等源的情况。镜像理论具有普遍性，譬如在天线中，也有单振子通过导体平面构成天线阵元的情况。