【自动控制原理】第四章根轨迹分析法

是Winky啊

于 2024-12-29 20:00:19 发布

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分类专栏：专业课文章标签：自动控制原理

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所谓分析，就是分析控制系统的三个基本要求：稳，准，快。

1. 根轨迹的基本概念及其两个基本条件

根轨迹定义：当开环传递函数中某个参数(往往是根轨迹增益 $K^*$ ) $0\rightarrow \infty$ 时，闭环特征根在 $s$ 平面上移动的轨迹。

增益的求解

增益的分类	求解方法
根轨迹增益	开环传递函数首一标准型，对应前面的系数 $K$
开环增益	开环传递函数尾一标准型，对应前面的系数 $K$
闭环增益	闭环传递函数尾一标准型，对应前面的系数 $K$

【计算题】已知系统正环传递函数为 $G(s)=\frac{4s-4}{s^{3}+3s^{2}+2s}$ ，求增益。

若要求根轨迹增益，化为首一标准型 $G(s)=\frac{4s-4}{s^{3}+3s^{2}+2s}=4\times \frac{(s-1)}{s(s^{2}+3s+2)}$ ，可得根轨迹增益为 $4$

若要求开环增益，化为尾一标准型 $G(s)=\frac{4s-4}{s^{3}+3s^{2}+2s}=\frac{4(s-1)}{2(\frac{1}{2}s^{3}+\frac{3}{2}s^{2}+s)}=2\times \frac{(s-1)}{\frac{1}{2}s^{3}+\frac{3}{2}s^{2}+s}$ ，可得开环增益为 $2$

根轨迹

【计算题】已知单位负反馈系统开环传递函数为 $G(s)=\frac{K_1}{s(s+8)}$ ，求 $K_1$ 从 $0\to\infty$ 变化时，系统的闭环根轨迹（由于是闭环传递函数分母解出来的根的轨迹，所以叫做闭环根轨迹）。

系统闭环特征方程（闭环传递函数分母）为 $s^{2}+8s+K_{1}=0$

特征根为 $s_{1,2}=-4\pm\sqrt{16-4K_{1}}$

随着参数变化变化根也在变化，根形成的轨迹就是根轨迹。

两个基本条件

根轨迹上的根一定满足的两个条件！

设控制系统如图所示，其特征方程为 $1+G(s)H(s)=0$

由闭环特征方程推出： $G(s)H(s)=-1$ （开环传递函数等于 $1$ ）

由于开环传函 $G(s)H(s)$ 是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。

⭐幅值条件(Angle condition)： $\begin{vmatrix}G(s)H(s)\end{vmatrix}=1$

⭐幅角条件(Magnitude condition)：

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