【高等数学】2-2多元函数微分学_无穷小乘以有界函数-优快云博客

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1. 偏导数

偏导的符号

原函数 $u=f\left ( x,y \right )$

$\frac{\partial u}{\partial x}\to\frac{\partial f}{\partial x}\quad u_x\quad f_x\begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix}\quad f_x^{'}\begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix}$

1.1. 一阶偏导数

技巧

对 $x$ 求偏导,就把除 $x$ 以外的未知数当作常数；对 $y$ 求偏导,就把除 $y$ 以外的未知数当作常数。

如果要求某一点的偏导，只需把点坐标代入偏导的表达式即可。

1.1.1. 普通函数

例题1

已知函数 $u=f\left(x,y\right)=x^2\sin2y$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$

$u=f\left(x,y\right)=x^2\sin2y$

$\frac{\partial u}{\partial x}=2x\sin2y$

$\frac{\partial u}{\partial y}=x^2\cdot\cos2y\cdot2=2x^2\cos2y$

例题2

已知函数 $u=f\left(x,y\right)=x^2\sin2y$ ,求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}$ 和该函数在点 (2,0)处的偏导数。

$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{\begin{array}{c}x=2\\y=0\end{array}}&=2x\sin2y\Bigg|_{\begin{array}{c}x=2\\y=0\end{array}}\\&=(2\times2)\sin(2\times0)=0\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{\begin{array}{c}x=2\\y=0\end{array}}&=2x^2\cos2y\Bigg|_{\begin{array}{c}x=2\\y=0\end{array}}\\&=(2\times2^2){\operatorname*{cos}}(2\times0)=8\end{aligned}$