【高等数学】3-1一元函数积分学_高数一元一次微积分换元法-优快云博客

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1. 不定积分的计算

积分就是求导逆运算，只是结果一定要加 $C$

1.1. 基本不定积分

常数函数

$\int k\mathrm{d}x=kx+C$

幂函数

$\int x^{a}\:\mathrm{d}x=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C(a\neq-1)$

$\int\frac1xdx=\ln|x|+C$

指数函数

$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int\mathrm{e}^xdx=\mathrm{e}^x+C$

三角函数

带有 $x^{2}$ 和 $a^{2}$

$\int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ $\int\frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right|+C$ $\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$

$\begin{aligned} &\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}arc\sin\frac{x}{a}+C\\ &\int\sqrt{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2}\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C\\ &\int\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}| +C \end{aligned}$

线性性质

$\int[\alpha u(x)+\beta v(x)]\mathrm{d}x=\alpha\int u(x)\mathrm{d}x+\beta\int\nu(x)\mathrm{d}x$ ( $\alpha,\beta$ 为常数)

例题1

求 $\int\frac{x^2+3}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$

$\begin{aligned} \int\frac{x^{2}+3}{\sqrt{x}}dx& =\int\left(x^{\frac32}+3x^{-\frac12}\right)\mathrm{d}x \\ &=\int x^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}x+3\int x^{-\frac{1}{2}}dx \\ &=\left(\frac25x^{\frac52}+C\right)+3\left(2x^{\frac12}+C\right) \\ &=\frac25x^{\frac52}+6x^{\frac12}+C \end{aligned}$

例题2

求 $\int\left(\cos\frac x2+\sin\frac x2\right)^2dx$

由于

$\begin{aligned}\left(\cos\frac x2+\sin\frac x2\right)^2& =\cos^2\frac{x}{2}+2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2} \\ &=1+2\cos\frac x2\sin\frac x2 \\ &=1+\sin x \\\end{aligned}$

因此

$\begin{aligned} \int\left(\cos\frac x2+\sin\frac x2\right)^2\mathrm{d}x& =\int(1+\sin x)\mathrm{d}x =\int\mathrm{d}x+\int\sin x \mathrm{d}x \\ &=x-\cos x+C \end{aligned}$

1.2. 有理函数

步骤

第一步，化简

把假分式化为真分式

分母做因式分解

用到的方法：因式分解、待定系数法

第二步，求积分

例题1

求 $\int\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$

$\int\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\int\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}dx$

因为（由于 $x-3$ 和 $x-2$ 都是 $1$ 次的，所以所设的分子为 $0$ 次；如果为二次，如 $x^2+x$ ，那么所设的分子为 $1$ 次，如 $ax+b$ ）

$\begin{aligned} &\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x-2}\quad \quad \quad \quad (a+b)x-2a-3b=x+1\\ &\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{a(x-2)+b(x-3)}{(x-3)(x-2)}\Rightarrow\begin{cases}a+b=1\\2a+3b=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=4\\b=-3\end{cases}\\&\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{(a+b)x-2a-3b}{(x-3)(x-2)}\end{aligned}$

所以

$\begin{aligned} &\int\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\int\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}dx=\int\frac{4}{x-3}+\frac{-3}{x-2}dx \\ &=4\int\frac{1}{x-3}dx-3\int\frac{1}{x-2}dx =4\ln|x-3|-3\ln|x-2|+C \end{aligned}$

例题2

求 $\int\frac{x-1}{x^3+x^2+x+1}dx$

$\int\frac{x-1}{x^3+x^2+x+1}dx=\int\frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)}dx$

因为（由于 $x^2+1$ 是 $2$ 次的，和 $x+1$ 是 $1$ 次的，所以所设的分子分别为 $ax+b$ 和 $c$ ）

$\frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x+1}=\frac{(ax+b)(x+1)+c(x^2+1)}{(x^2+1)(x+1)}$

$=\frac{(a+c)x^2+(a+b)x+b+c}{(x^2+1)(x+1)}$

解得 $a=1,b=0,c=-1$

所以

$\int\frac{x-1}{x^3+x^2+x+1}dx=\int\frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)}dx= \int\frac{x}{(x^2+1)}-\frac{1}{x+1}dx$

$=\frac{ln\left | x^2+1 \right |}{2}-ln\left | x+1 \right |+C$

例题3

求 $\int\frac{x^3+3x^2+x-3}{x^2+x-2}dx$

$\begin{aligned}\frac{x^3+3x^2+x-3}{x^2+x-2}&=\frac{ax(x^2+x-2)+b(x^2+x-2)+cx+d}{x^2+x-2}\\\frac{x^3+3x^2+x-3}{x^2+x-2}&=\frac{ax^3+(a+b)x^2+(-2a+b+c)x+(-2b+d)}{x^2+x-2}\\\end{aligned}$