C++ 算法学习——1.3 A*算法

A算法是一种常用且高效的启发式搜索算法。

1. 背景

• A*算法是一种基于启发式搜索的路径规划算法，结合了Dijkstra算法的广度优先搜索和贪婪最佳优先搜索的优点。

2. 基本原理

• 广度优先搜索很傻，各个点邻点都要依次探索，于是改善，选择当前代价最低的点去探索，为A*算法。
• A*算法使用两个关键函数（代价）来决定搜索路径，其中：
  • f(n) 存储总代价。
  • g(n) 是当前代价，比如你从起点走到位置A会花多少代价（格子数，时间...）。
  • h(n)是预估代价，表示从位置A走到终点大概走多少步，非精确数值。常用的预估代价方式有欧拉距离（当前位置和终点的直线距离大小），或曼哈顿距离（把当前位置和终点当成矩形的对角两点，曼哈顿距离就是长+宽）
• 则点的总代价为f(n)=g(n)+h(n),每次都选择代价最小的点进行探索（出队列）到达即结束，此时队列大概率不为空。而不是像一般的BFS把所有节点都入队列出队列清空才结束。

3. 伪代码

函数 AStar(地图, 起点, 终点):
    初始化优先队列 openList
    将起点加入 openList
    初始化 visited 数组，标记所有节点为未访问

    while openList 非空:
        当前节点 = openList 中代价最小的节点
        从 openList 中移除当前节点

        如果当前节点是终点:
            输出找到路径
            返回

        将当前节点标记为已访问

        对当前节点的所有邻居节点:
            计算邻居节点的代价 g
            计算邻居节点的总代价 f = g + 曼哈顿距离(邻居节点, 终点)

            如果邻居节点未访问过:
                将邻居节点加入 openList
                标记邻居节点为已访问

    输出未找到路径

4. 优点与局限

• 优点：
  • 可以找到最优解（如果启发式函数满足一定条件）。
  • 在启发式函数良好选择时，速度较快。
• 局限：
  • 启发式函数的选择会影响搜索效率。
  • 可能会受到地图网格分辨率等因素的影响。 

C++代码实现（广泛的邻接表）示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义地图节点结构
struct Node {
    int x, y; // 节点坐标
    int f, g; // 总代价 f 和起点到该节点的代价 g
};

// 自定义比较函数，用于优先队列的排序
struct CompareNode {
    bool operator()(const Node &a, const Node &b) {
        return a.f > b.f;
    }
};

// 计算曼哈顿距离
int calculateManhattanDistance(Node a, Node b) {
    return abs(a.x - b.x) + abs(a.y - b.y);
}

// A*算法实现
void AStar(vector<vector<int>>