【模板】 树形DP求树直径(可处理负边权直径)

本文探讨了在图论中使用深度优先搜索(DFS)结合动态规划(DP)求解最远距离问题的方法。通过递归地遍历图的每个节点,计算以该节点为根的子树中最远节点的距离,最终找到整个图中的最长路径。

DP【x】表示从x出发走向以x为根的子树,能够到达的最远节点的距离 

void get_dp(ll now)
{
	flag[now] = true; //标记是否处理过
	
	for(ll i = head[now]; i != 0; i = E[i].next)
	{
		ll to = E[i].to;
		
		if(!flag[to])
		{
			get_dp(to);
			
			res = max(res,dp[now]+dp[to]+E[i].w); //ans为答案
			dp[now] = max(dp[now],dp[to]+E[i].w);
		}
	}	
}

 

使用树形动态规划(树形 DP直径且避免经过父节点路径,可按照以下思路操作。 首先明确要维护的信息,假设当前父节点是 \(u\),\(u\) 的所有儿子节点为 \(v_1,\cdots,v_n\),要维护的信息需满足“只要知道了儿子节点 \(v_1,\cdots,v_n\) 的该信息,就能确定 \(u\) 的该信息”。设 \(d[x]\) 为节点 \(x\) 到其子孙节点的最大距离、设 \(f[x]\) 为以 \(x\) 为根结点的一条最长路径的距离,即要维护的信息就是 \(d[]\),\(f[]\) [^1]。 具体实现步骤如下: 1. 遍历每个节点的子节点,对于每个子节点 \(v\),递归计算其到子孙节点的最大距离 \(d[v]\)。 2. 在遍历子节点过程中,记录下当前节点 \(u\) 到子节点的最大距离 \(d_1\) 和次大距离 \(d_2\)。这里 \(d_1\) 和 \(d_2\) 对应的是不同子节点到 \(u\) 的距离。 3. 以 \(u\) 为根节点的子直径 \(d[u] = d_1 + d_2\),这样就避免了经过父节点的路径,因为 \(d_1\) 和 \(d_2\) 是不同子方向上的距离 [^5]。 下面是一个 Python 代码示例: ```python # 假设以邻接表的形式存储 graph = {} # 初始化 d 和 f 数组 n = len(graph) d = [0] * (n + 1) f = [0] * (n + 1) def dfs(u, parent): d1 = 0 d2 = 0 for v in graph[u]: if v == parent: continue dfs(v, u) # 更新 d1 和 d2 if d[v] + 1 > d1: d2 = d1 d1 = d[v] + 1 elif d[v] + 1 > d2: d2 = d[v] + 1 d[u] = d1 f[u] = d1 + d2 # 从根节点开始深度优先搜索 root = 1 dfs(root, -1) # 找出最大的 f 值即为直径 diameter = max(f) print("直径为:", diameter) ```
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