二叉搜索树，平衡二叉树

二叉搜索树

二叉搜索树，满足左子树的所有键值小于其根结点的键值，右子树的所有键值大于其根结点的键值。且左右子树皆为二叉搜索树。查找方法有静态查找和动态查找。二叉搜索树就是用动态查找。
二叉搜索树的查找操作：
从根结点开始，如果树为空，返回NULL。
若搜索树非空，则根结点关键字和x进行比较：若x小于根结点的键值，只需要再左子树种继续搜索，若x大于根结点的键值，在右子树种继续搜索，如果相等就完成搜索。

Position Find(int x,Bitree t)
{
    if(!t)
        return NULL;
    if(x>t->Data)
        return Find(x,t->right);
    else if(x<t->Data)
        return Find(x,t->left);
    else
        return t;
}

查找最大值和最小值，根据二叉搜索树的性质，最大键值肯定在最右分支的端结点上，最小键值肯定在最左分支的端结点上。
查找最小元素的递归函数：

Position FindMin(BiTree t)
{
    if(!t)
        return NULL;
    else if(!t->left)
        return t;
    else
        return FindMin(t->left);
}

二叉搜索树的插入：与Find相似。

BiTree Insert(int x,BiTree t)//二叉搜索树插入
{
    if(!t)
    {
        t=malloc(sizeof(struct TreeNode));
        t->Data=x;
        t->left=t->right=NULL;
    }
    else
    {
        if(x<t->Data)
            t->left=Insert(x,t->left);
        else if(x>t->Data)
            t->right=Insert(x,t->right);
    }
    return t;
}

二叉搜索树的删除
如果要删除的是叶结点，那么可以直接删除，把它的夫系欸但指针置为NULL即可。如果要删除的结点只有一个孩子结点，那么要将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点。如果要删除的结点有左，右两颗子树，用另一个结点代替：取右子树中最小的元素替代或者取左子树中最大的元素替代。

BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X )
{
    Position Tmp;
    if(BST)
    {
        if( X < BST->Data )
            BST->Left = Delete( BST->Left, X );
        else if( X > BST->Data )
            BST->Right = Delete( BST->Right, X );
        else
        {
            if( BST->Left && BST->Right )
            {
                Tmp = FindMin( BST->Right );
                BST->Data = Tmp->Data;

                BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data );
            }
            else
            {
                Tmp = BST;
                if( !BST->Left )
                    BST = BST->Right;
                else
                    BST = BST->Left;
                free( Tmp );
            }
        }
    }
    return BST;
}

平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树是任意一个结点的左右子树高度差绝对值不超过1的二叉树。平均查找长度ASL。平衡二叉树的平衡查找长度ASL最小，当这个二叉树不平衡时，想要变成平衡二叉树就要进行调整，调整的方法有右单旋，左单旋，左右旋转，右左旋转。

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{
    ElementType Data; /* 结点数据 */
    AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
    AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
    int Height;       /* 树高 */
};
 
int Max ( int a, int b )
{
    return a > b ? a : b;
}
 
AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B */
  /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     
 
    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;
    B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;
  
    return B;
}
 
AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
  /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
     
    /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
    return SingleLeftRotation(A);
}
 
/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/
 
AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
    if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    } /* if (插入空树) 结束 */
 
    else if ( X < T->Data ) {
        /* 插入T的左子树 */
        T->Left = Insert( T->Left, X);
        /* 如果需要左旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )
            if ( X < T->Left->Data ) 
               T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
            else 
               T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
    } /* else if (插入左子树) 结束 */
     
    else if ( X > T->Data ) {
        /* 插入T的右子树 */
        T->Right = Insert( T->Right, X );
        /* 如果需要右旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )
            if ( X > T->Right->Data ) 
               T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
            else 
               T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
    } /* else if (插入右子树) 结束 */
 
    /* else X == T->Data，无须插入 */
 
    /* 别忘了更新树高 */
    T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;
     
    return T;
}