【数据结构】深入理解二叉树及常见操作代码实现

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树的概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
之所以叫做树，是因为它结构长得像一颗倒挂的树，也就是根在上，节点在下。

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
  • 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
    <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
  • 因此，树是递归定义的。

树

  • 叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：J,F,K,L…等结点为叶结点
  • 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：B,E,C,G…等结点为分支结点
  • 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
  • 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
  • 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
  • 树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为3
  • 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
  • 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
  • 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
  • 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
  • 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
  • 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表比较复杂，要存储表示起来就比较麻烦，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

在这里插入图片描述

二叉树的概念及结构

二叉树的基本概念

二叉树是一种树形结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树可以为空（即空二叉树），也可以由一个根节点以及它的左、右子树组成，且左、右子树本身也都是二叉树。

  • 二叉树不存在度大于2的结点，即每个结点最多有两棵子树。
  • 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒
    在这里插入图片描述

特殊的二叉树

  1. 满二叉树：
  • 除了最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点。
  • 最后一层的所有节点都集中在最左边，并且节点数达到该层能容纳的最大节点数。
    也就是说，一棵深度为 k(k>=1)的满二叉树，其节点总数为 2k-1 个。例如，深度为 3 的满二叉树，其节点总数为23 -1=7 个，它的每一层节点数分别为：第 1 层（根节点所在层）有 1 个节点；第 2 层有 2 个节点；第 3 层有 4 个节点，且这 4 个节点都在最左边排列。
  1. 完全二叉树：
  • 完全二叉树的高度为h ，除了第 h层外，其他各层的节点数都达到最大节点数。
  • 第 h层的节点从左到右依次排列，且可能存在的空缺节点都在最右边。
    可以这样理解，完全二叉树是在满二叉树的基础上，最后一层节点从左到右依次排列，可能不满，但空缺只能在最右边。例如，一棵深度为 4 的完全二叉树，前 3 层节点数达到该层能容纳的最大节点数（分别是 1、2、4 个节点），第 4 层节点从左到右依次排列，可能不满，但如果有缺失节点，一定是在最右边。
    完全二叉树有一个重要的性质，就是其节点数 满足：2h-1<=n<=2h-1，其中h是树的高度（深度）。

总结来说，满二叉树是一种每层节点数都达到最大值（除最后一层外每层节点都有两个子节点，最后一层节点数也达到最大）的特殊二叉树；完全二叉树则是在满足一定节点排列规则下，近似于满二叉树但最后一层可能不满的二叉树。
在这里插入图片描述

二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1个结点.
  2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2h-1.
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2＋1
  • 假设二叉树有N个结点
  • 从总结点数角度考虑：N = n0 + n1 + n2 ①
  • 从边的角度考虑，N个结点的任意二叉树，总共有N-1条边
  • 因为二叉树中每个结点都有双亲，根结点没有双亲，每个节点向上与其双亲之间存在一条边
  • 因此N个结点的二叉树总共有N-1条边
  • 因为度为0的结点没有孩子，故度为0的结点不产生边; 度为1的结点只有一个孩子，故每个度为1的结
    点* * 产生一条边; 度为2的结点有2个孩子，故每个度为2的结点产生两条边，所以总边数为：
    n1+2*n2
  • 故从边的角度考虑：N-1 = n1 + 2*n2 ②
  • 结合① 和 ②得：n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1
  • 即：n0 = n2 + 1
  1. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2 (n+1). (ps： 是log以2
    为底，n+1为对数)
  2. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对
    于序号为i的结点有：
  • 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
  • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n则无左孩子
  • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n则无右孩子

二叉树的遍历

1.前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉
树中的结点进行相应的操作，并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历
是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
    由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为
    根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
    在这里插入图片描述
    如上图：
    前序遍历：ABDHIEJCFG
    中序遍历：HDIBJEAFCG
    后序遍历：HIDJEBFGCA

2.层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层
上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
如上图：
层序遍历：ABCDEFGHIJ

二叉树链式结构的实现

二叉树节点结构体的定义

typedef char BTDataType;//BTDataType为节点储存值的类型

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;// 节点存储的值
	struct BinaryTreeNode* left; // 指向左子节点的指针
	struct BinaryTreeNode* right; // 指向右子节点的指针
}BTNode;

在上述代码中，我们定义了一个名为BTNode的结构体来表示二叉树的节点。结构体成员data用于存储节点的值，left和right分别是指向左子节点和右子节点的指针。BTDataType为节点储存值的类型。通过这种结构体定义，我们可以构建出二叉树的层次结构。

二叉树的常见操作

1.创建二叉树

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(char*a,int*pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
		return NULL;
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return NULL;
	}
	root->data = a[*pi];
	(*pi)++;
	root->left = BinaryTreeCreate(a,pi);
	(*pi)++;
	root->right = BinaryTreeCreate(a, pi);
	return root;
}

2.二叉树的前序遍历

前序遍历的顺序是先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

  • 首先判断根节点是否为空，如果为空则直接返回，因为空树无需进行遍历操作。
  • 若根节点不为空，则先输出根节点的值，这符合前序遍历先访问根节点的规则。
  • 然后递归调用preorderTraversal函数来遍历左子树。
  • 最后再递归调用该函数来遍历右子树。
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root== NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

3.二叉树的中序遍历

中序遍历的顺序是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。

  • 同样先判断根节点是否为空，为空则返回。
  • 先递归调用inorderTraversal函数来遍历左子树。
  • 当左子树遍历完成后，输出根节点的值，这符合中序遍历的顺序。
  • 最后递归调用该函数来遍历右子树。
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root== NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);

}

4.二叉树的后序遍历

后序遍历的顺序是先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。

  • 还是先判断根节点是否为空，为空则返回。
  • 先递归调用postorderTraversal函数来遍历左子树。
  • 接着递归调用该函数来遍历右子树。
  • 当左子树和右子树都遍历完成后，输出根在节点的值，这符合后序遍历的顺序。
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{

	if (root== NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

5.二叉树的层序遍历

二叉树的层序遍历需要用到队列的算法。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		printf("%c ", front->data);

		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}

	QueueDestroy(&q);
}

6.二叉树的销毁

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root != NULL)
	{
		if ((*root)->left) // 有左孩子
			BinaryTreeDestory(&(*root)->left); // 销毁左孩子子树
		if ((*root)->right) // 有右孩子
			BinaryTreeDestory(&(*root)->right); // 销毁右孩子子树
		free(*root); // 释放根结点
		*root = NULL; // 空指针赋NULL
	}
}
需要注意的是要free掉的是root指针所指向的节点*root，而不是直接free(root).

二叉树的其它操作

7.求二叉树节点个数

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right)+1;
}

8.求二叉树叶子节点的个数

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

9.求二叉树第k层节点个数

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (k == 0)
		return 0;
	if (k == 1)
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

10.寻找二叉树查找值为x的节点

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}
	BTNode*ret1=BinaryTreeFind(root->left,x);
	if (ret1)
		return ret1;
	BTNode*ret2=BinaryTreeFind(root->right,x);
	if (ret2)
		return ret2;
	return NULL;
}

11 .判断二叉树是否是完全二叉树

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty)
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front == NULL)
			break;
		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}
	while (!QueueEmpty)
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front != NULL)
			return 0;
	}
	return 1;
}

12.求二叉树的深度

//求二叉树深度
int maxDepth(BTNode* root) {
	if (root == NULL)
		return 0;
	int ret1 = maxDepth(root->left);
	int ret2 = maxDepth(root->right);
	return ret1 > ret2 ? ret1 + 1 : ret2 + 1;
}

13.判断二叉树是否是单值二叉树

//判断该二叉树是否是单值二叉树
bool isUnivalTree(BTNode* root) {
	if (root == NULL)
		return true;
	if (root->left && root->left->data!= root->data)
		return false;
	if (root->right && root->right->data != root->data)
		return false;
	return isUnivalTree(root->left) && isUnivalTree(root->right);
}

14.判断两棵树是否相同

//(判断两棵树是否相同)
bool isSameTree(BTNode* p, BTNode* q) 
{
	if (p == NULL && q == NULL)
		return true;
	if (p == NULL || q == NULL)
		return false;
	if (p->data != q->data)
		return false;
	return isSameTree(p->left, q->left) && isSameTree(p->right, q->right);
}

15.判断二叉树是否对称

//对称二叉树(判断二叉树是否对称)
bool check(BTNode* p, BTNode* q)
{
	if (p == NULL && q == NULL)
		return true;
	if (p == NULL || q == NULL)
		return false;
	if (p->data != q->data)
		return false;
	return check(p->left, q->right) && check(p->right, q->left);
}
bool isSymmetric(BTNode* root)
{
	return check(root->left, root->right);
}

16.判断一棵树是不是另一棵树的子树

//另一棵树的子树(判断一棵树是不是另一棵树的子树)
bool dfs(BTNode* root, BTNode* subRoot) 
{
	if (!root)
	{
		return false;
	}
	return isSameTree(root, subRoot) || dfs(root->left, subRoot) || dfs(root->right, subRoot);
}
bool isSubtree(BTNode* root, BTNode* subRoot) {
	return dfs(root, subRoot);
}

17.平衡二叉树,给定一个二叉树，判断它是否是平衡二叉树

平衡二叉树是指该树所有节点的左右子树的深度相差不超过 1的二叉树。


int high(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	int ret1 = high(root->left);
	int ret2 = high(root->right);
	return ret1 > ret2 ? ret1 + 1 : ret2 + 1;
}
bool isBalanced(BTNode* root) {
	if (root == NULL)
		return true;
	int higher = high(root->left);
	int lower = high(root->right);
	if (higher < lower)
	{
		int temp = higher;
		higher = lower;
		lower = temp;
	}
	return higher - lower <= 1 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
}
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