纪中集训d2 提高A组模拟

这次情况稍微好了点，但是还是各种写跪23333……不得不说，纪中的OIer数学推演能力好像都太好了点，就是讲的课很容易让人听不懂……
【T1】【JZOJ 3777】
这道题目是一类特殊图的最短路，这种题目一般是打表+找规律+证明（一般不会去想？）……讲的是对于一个格点图，对于点$(i,j)$定义权值为$F(i,j)=F(i-1,j)+F(i,j-1)$，边界$i=0$或$j=0$时$F(i,j)=1$，同时在$(i,j)$与$(i,j-1)$、$(i-1,j)$间相应分别连两条零权值边，问$(0,0)$到$(n,m)$的最短路。
容易发现最短路就是沿着边走，不妨设$n<m$，那么最短路就是$(0,0)-(0,m)-(n,m)$，因为从另一个方向的折线显然比它长。那么问题就变成了求$m+\sum\limits_{i=1}^nF(i,m)$。由于我们马上可以发现$F(i,j)$其实对应杨辉三角，进而对应组合数，所以上面那个式子$=m+\sum\limits_{i=1}^nC(i+m-1,i$。
怎样快速求呢？这里有两个思路：
思路一，注意到

$$C(i,j)=\frac{j!}{i!(j-i)!}$$ 和 $$C(i+1,j+1)=\frac{(j+1)!}{(i+1)!(j-i)!}$$
那么我们得到 $$C(i+1,j+1)=\frac{j+1}{i+1}C(i,j)=(j+1)(i+1)^{-1}C(i,j)$$
就可以很方便地用逆元直接推啦~
直接搞是$\text O(nlgn)$，如果用线性推逆元（推到$\sqrt{nm}$）就可以直接做到$\text O(n)$，但是比较麻烦。
思路二，考虑到 $$C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)$$ 我们再次注意到那个式子里面我们如果把$C(m,0)$给补上去，然后由上面那条式子，可以得到 $$C(m,0)+C(m,1)+C(m+1,2)+\cdots$$
$$=C(m+1,1)+C(m+1,2)+C(m+2,3)+\cdots$$
$$=\cdots=C(m+n-1,n)$$
这个可以直接算若干阶乘，然后全部阶乘完再做逆元，这样似乎比较快？而且还挺好写的，时间复杂度$\text O(n+lgn)$。
【T2】【JZOJ 3769】
题意是考虑一种特殊的斐波那契进制来表示数，即把数表示成每位权值分别为$1,2,3,5,8...Fib(i)$的向量$a$，使得这个$a$最大，也就是$|a|$最大且对于任意一个表示同样数且长度一样的的向量$a'$，设从高位到低位第一个不同的是$a_i\neq a'_i$，那么都要满足$a_i>a'_i$。这里给出两个这样的向量，求把这两个向量对应加起来之后的最大向量。
我们发现，满足最大的向量一定没有相邻的两个一，而且也不可能有大于一的数，前一个可以合并两个一，后一个可以分拆，比如$2x_i=x_{i-2}+x_{i+1}$，这样向量都会更大。于是我们先定义一次迭代操作就是先把所有的大于一的数分拆，然后再统一合并相邻的非零数，接着听说跑个玄学次就能过了，我也不会证……不过还是有可能构造出数据的。隔壁zmz dalao认为跑$\lg n$次就可以了，但是我也还是证不了，根据数据只用10+次。

【T3】【JZOJ3771】
对于这道题目，我们直接来讨论下满分算法。考虑到如果不算所有乘上了$2^i$的数，那么第一个盒子里的数都是奇数。那么我们容易发现，第一个盒子里面的所有数实际上就是所有形式为$a2^{mi}$的数，其中$a$都是奇数，结合标号条件，我们还需要$a2^{mi+m+1}\leq n$。这时我们考虑枚举下$i$，就可以求出对应的$a$的范围，然后全部加一块就行了。我们发现，实际上我们给$[\frac{n}{2}]$（这里[x]表示下取整）每次除多$2^m$就行了……反正高精度里面压压位，然后直接用位运算加速就好了。