UVA 10817 Headmaster‘s Headache(最优配对问题，DP，状态压缩）

UVA 10817 Headmaster’s Headache(最优配对问题，DP，状态压缩）

题目大意：有m个在校老师，n个求职者，s个课程，给出每个人的工资和授课集合，在校老师必须聘请，每个课程匹配至少两名老师，求最少工资开销。

咋一看，我的思路是用d(i,S)表示考虑前i个课程和集合S中的教师和求职者完成配对的最少工资开销，然后发现不行，状态转移表示不出来，而且集合无法用二进制表示。

参考了紫书上的分析，我发现我还是太年轻了。紫书上用d(i,s1,s2)，表示考虑了前i个人，集合s1表示当前状态有且仅有一个人教的课程，集合s2表示至少有两个人教的课程。
那么就可以很轻松地写出状态转移方程：
d(i,s1,s2)=min(d(i+1,s1’,s2’)+c[i],d(i+1,s1,s2))
第一项表示选择第i个人后，课程状态随之变更到s1’和s2’。c[i]表示第i个人的工资。
第二项表示不选择第i个人，课程状态不变

因为课程至多有8个，所以可以用二进制来表示一个集合。对于某一个集合s0，如果添加一个编号为i的课程，s0=s0|(1<<i-1)；删除一个编号为i的课程，s0=s0^(1<<i-1)；查询一个编号为i的课程，s0&(1<<i-1)；状态转移可以通过一系列的位运算来轻易实现。

问题：为什么状态转移是从i转移到i+1？
一开始我很是疑惑，后来我发现其实i-1转移到i也是可以的，但是考虑的因素要多一些。
对于i转移到i+1，我们只用考虑和变更没人教的课程集合s0和只有一个人教的课程集合s1,而对于至少有两个人教的课程集合s2则不用考虑只需无脑变更就行，因为没限制至多有几个人教。所以递归结果是i=1，递归边界是i=m+n。
对于从i-1转移到i，我们则需要逆着去变更课程集合，而且递归边界不一定是i=1，也可能是s0为全集，因为递归起点是d(m+n,0,(1<<s)-1)，即s2为全集表示所有课程都有且仅有两个人教，注意这里不是表示至少有两个人教。则自然的递归边界为d(i,0,0)。但是还要考虑在职教师，如果s0为全集而在职教师未完全聘请完，还要继续递归；所以要将在职教师放在栈的上端，且递归边界复杂不易判断。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=(1<<8)+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int s,m,n;
int c[125];
int si[125];
int d[125][max_n][max_n];
int dp(int i,int s0,int s1,int s2)//第一种dp函数
{
	if(i==m+n+1)return s2==(1<<s)-1?0:INF;
	int &ans=d[i][s1][s2];
	if(ans!=-1)return ans;
	ans=INF;
	if(i>m)ans=dp(i+1,s0,s1,s2);
	int cur_s0=s0^(s0&si[i]);
	int cur_s1=(s1^(s1&si[i]))|(s0&si[i]);
	int cur_s2=s2|(s1&si[i]);
	ans=min(ans,dp(i+1,cur_s0,cur_s1,cur_s2)+c[i]);
	return ans;
}
//int dp_1(int i,int s1,int s2)//第二种dp函数
//{
//	if(i==m+n+1)return s2==(1<<s)-1?0:INF;
//	int &ans=d[i][s1][s2];
//	if(ans!=-1)return ans;
//	ans=INF;
//	if(i>m)ans=dp(i+1,s1,s2);
//	int cur_s1=s1^st[i];
//	int cur_s2=s2|(s1&st[i]);
//	ans=min(ans,dp(i+1,cur_s1,cur_s2)+c[i]);
//	return ans;	
//}
int main(void)
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	while(~scanf("%d%d%d",&s,&m,&n)&&s)
	{
		memset(si,0,sizeof(si));
		getchar();
		for(int i=1;i<=m+n;i++)
		{
			stringstream ss;
			string a;
			getline(cin,a);
			ss<<a;
			ss>>c[i];
			int c;
			while(ss>>c)
			si[i]+=1<<(c-1);
		}
		memset(d,-1,sizeof(d));
		printf("%d\n",dp(1,(1<<s)-1,0,0));
//		printf("%d\n",dp_1(1,0,0));
	}
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
}
//2 2 2
//10000 1
//20000 2
//30000 1 2
//40000 1 2
//0 0 0
//4 3 10
//1000 1 2 
//1000 3 
//1000 1 
//5000 1 2 3 4 
//50000 3 
//50000 4 
//50000 3 4 
//50000 1 
//50000 1 
//50000 2 
//50000 1 
//50000 2 
//50000 1 

代码给出了两种dp函数，第二种dp函数忽略了s0，直接计算s1。这种办法会将一个本已经由两个人教的课程重新放进s1，按照上面的状态定义s1和s2的交集应该为空，但是最后递归边界只对s2进行考察，所以s1是否正确其实无所谓。