LeetCode: 507. 完美数

完美数

原题

对于一个 正整数，如果它和除了它自身以外的所有 正因子 之和相等，我们称它为 「完美数」。

给定一个 整数 n， 如果是完美数，返回 true；否则返回 false。

示例 1：

输入：num = 28
输出：true
解释：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
1, 2, 4, 7, 和 14 是 28 的所有正因子。

示例 2：

输入：num = 7
输出：false

提示：

• 1 <= num <= 108

class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {

    }
}

解题思路

1. 从 1 遍历到 num - 1 寻找因子。
2. 见优化。

代码示例

class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        // 根据定义，1 不是完美数，0 和负数也不是完美数
        if (num <= 1) return false;

        // 保存正因子之和
        int sum = 0;

        // 从 1 遍历到 num - 1
        for (int i = 1; i < num; i++) {
            // 如果能除尽即是因子，就加到 sum 里
            if (num % i == 0) sum += i;
        }

        // 如果 sum 和 num 相等说明是完美数
        return sum == num;
    }
}

优化思路

在寻找一个数的因子时，只需要遍历到 $\sqrt{num}$ 而不是 num - 1。这是因为如果一个数 num 有因子 i，那么必定存在另一个因子 j 使得 i * j = num。如果 i > $\sqrt{num}$，那么 j 必然小于 $\sqrt{num}$。因此，由于这种对称性，所有可能的因子对 (i, j) 中，总有一个因子是小于或等于 $\sqrt{num}$ 的。

如果遍历到 num - 1，对于一个非常大的数来说，操作非常耗时且不必要。例如，对于 num = 10⁸，遍历到 10⁸ - 1 会进行近乎 10⁸ 次迭代。而使用 $\sqrt{num}$，只需要进行 $\sqrt{10^8}$ = 10⁴ 次迭代，显著减少了计算量。

优化后代码

class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        if (num <= 1) return false;

        int sum = 1; // 1 总是每个正整数的因子
        for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
            if (num % i == 0) {
                sum += i;
                if (i * i != num) { // 确保不会重复将平方根的因子加到 sum 中
                    sum += num / i;
                }
            }
        }

        return sum == num;
    }
}

说明

在计算一个数的因子时，如果我们找到了一个因子 i，那么 num / i 也是一个因子。但是，如果 i是 num 的平方根，那么 i 和 num / i 就是同一个数，所以我们只需要将它们中的一个加到 sum 中。