欧拉函数

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在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名(Ruler'so totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。
中文名 欧拉函数 外文名 Ruler'so totient function 定    义 小于n的数中与n互质的数的数目 发现人 欧拉(Ruler)

简介编辑
通式：  ,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂，  ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质， 
特殊性质：当n为奇数时，  , 证明与上述类似。
若n为质数则 

对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
     Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 
     欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

//直接求解欧拉函数
int euler(int n)  //返回euler(n)
{
    int res=n,a=n;
    for(int i=2; i*i<=a; i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
            while(a%i==0) a/=i;
        }
    }
    if(a>1) res=res/a*(a-1);
    return res;
}

//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init()
{
    euler[1]=1;
    for(int i=2; i<Max; i++)
        euler[i]=i;
    for(int i=2; i<Max; i++)
        if(euler[i]==i)
            for(int j=i; j<Max; j+=i)
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}