欧拉函数(详细证明+推导) 每日一遍，算法再见！

最新推荐文章于 2025-06-22 20:32:46 发布

鲜果维他命

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分类专栏：数论文章标签：算法

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欧拉函数是数论中一个重要的概念，表示小于等于n且与n互质的正整数个数。本文详细介绍了欧拉函数的定义、性质，并提供了计算欧拉函数的代码示例，包括单个欧拉函数的计算和通过欧拉筛法快速求解。此外，还给出了性质的推导，帮助理解其数学原理。

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欧拉函数

定义：对于一个正整数n，n的欧拉函数 $ϕ(n)\phi(n)$ ，表示小于等于n与n互质的正整数的个数

性质

性质1：如果n是质数，那么 $ϕ(n)=n−1\phi(n)=n-1$ ,因为只有n本身与它不互质。

性质2：如果p，q都是质数，那么 $ϕ(p∗q)=ϕ(p)∗ϕ(q)=(p−1)∗(q−1)\phi(p*q)=\phi(p)*\phi(q)=(p-1)*(q-1)$ .

性质2推导: $p, 2 p, 3 p, . . . ., (q - 1) * p 有 q - 1 个数整除 p * q ，同理 q, 2 q, 3 q, . . ., (p - 1) * q 有 p - 1 个数可以整除 p q, 再加上 p q 本身能整除 p q ，那么丢掉这些数剩余的数就与 p q 互质，一共有 p q - (q - 1 + p - 1 + 1) = (p - 1) (q - 1) 。$

性质3:根据性质2得出，如果p是质数，那么 $ϕ(pk)=pk−pk−1\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

性质推导: $p,2p,3p,...,p^{k-1}p,一共p^{k-1}个数能够整除p^k$
那么丢到这些数，剩下的 $p^k-p^{k-1}$ 就与 $p^k$ 互质。

性质4:对于任意正整数n， $ϕ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)....(1−1pn)，其中p1,p2,p3,...,pn是n的质因子\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})....(1-\frac{1}{p_n})，其中p_1,p_2,p_3,...,p_n是n的质因子$ ，这个性质可以由性质2和性质3联合推导出来，这里我就不推了，大家自行推导。

性质5：若a为质数,b mod a=0, $ϕ(a∗b)=ϕ(b)∗a\phi(a*b)=\phi(b)*a$
性质6：若a,b互质, $ϕ(a∗b)=ϕ(b)∗ϕ(a)\phi(a*b)=\phi(b)*\phi(a)$
性质7：若n为一个正整数，那么 $∑d∣n=n，d∣n表示d整除n\sum_{d|n}=n，d|n表示d整除n$ 。

模板

求单个欧拉函数

代码：

单个欧拉函数公式
phi(n)=1*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)*....*(1-1/pn);
其中p1,p2,p3...pn是n的质因子
#include<iostream>
#include<cmath> 
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	ll n;
	scanf("%lld",&n);
	ll ans=n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)
			{
				n/=i;
			}
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);//说明还有一个质因数没算，不然的花n应该为1
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

通过欧拉筛求欧拉函数

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Maxn=1e7;
int phi[Maxn];//记录数的约数个数(欧拉函数) 
bool vis[Maxn];//记录数字是否访问 
int prime[Maxn];//保存素数 
int main()
{
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	memset(phi,0,sizeof(phi));
	memset(prime,0,sizeof(prime));
	int n;
	scanf("%d",&n);
	vis[1]=1;//1不是素数 
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])//没有被访问，也就是没有被筛掉,说明是素数 
		{
			vis[i]=!vis[i];
			prime[++prime[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)//a%b==0，那么phi[a*b]=b*phi[a] 
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//两者互素 
		}
	}
	printf("%d\n",prime[0]);
	for(int i=1;i<=prime[0];i++)
	{
		printf("%d %d\n",prime[i],phi[prime[i]]);
	}
	return 0;
}