数论扩展欧几里德（exgcd）（求解不定方程、线性同余方程）

Authur_gyc

于 2019-09-02 19:24:15 发布

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分类专栏： # 数论

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法的应用场景与实现原理，重点讲解了如何利用此算法解决特定形式的线性方程组问题，尤其是在求解整数解时的技巧与方法。同时，提供了算法的代码实现细节，帮助读者深入理解并掌握扩展欧几里得算法。

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问题
有式子 $a * x + b * y = c$ 其中 $a, b, c$ 已知，求 $x, y$ 。
如果 $c$ 是 $g c d (a, b)$ 的倍数,那么该方程有整数解，能用扩展欧几里得求解。

应用
扩展欧几里德算法：用来在已知 $a, b$ 后 求解一组 $x ， y$ ，使得 $a * x + b * y = g c d (a, b)$ 成立。
(解一定存在，根据数论中的相关定理)。

实际应用中， $e x g c d$ 并不能处理 $a, b$ 是负数的情况，当 $a, b$ 是负数时，一般根据题意采取等价的取相反数做法。

代码

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){//已知a,b后求解一组x,y使得a*x+b*y=gcd(a,b)成立
　　if(b == 0){
　　    x = 1, y = 0;
　　    return a;
　　}
　　int result = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int tem = x;
　　x = y;
　　y = tem - a / b * y;
　　return result;
}