交叉熵损失函数的导数推导

交叉熵损失函数是深度学习中常用的一种损失函数，尤其在分类问题中被广泛应用。在本文中，我们将推导交叉熵损失函数的导数，并提供相应的源代码实例。

交叉熵损失函数用于衡量模型预测值与真实标签之间的差异。假设我们有一个分类问题，有C个类别，每个样本的真实标签表示为one-hot编码的形式。假设模型的输出为预测概率分布，表示为一个C维的向量。交叉熵损失函数可以定义为：

L = -∑(y_i * log(p_i))

其中，y_i表示真实标签中第i个类别的值（0或1），p_i表示模型的预测概率分布中第i个类别的概率。

为了推导交叉熵损失函数的导数，我们需要计算L对于每个预测概率p_i的偏导数。由于损失函数中存在log运算，我们可以使用链式法则来计算导数。具体来说，我们需要计算dL/dp_i。

首先，我们将交叉熵损失函数展开：

L = -∑(y_i * log(p_i))
= -∑(y_i * (log(e)/log(p_i)))
= -∑(y_i * (log(e) - log(p_i)))
= -∑(y_i * log(e)) + ∑(y_i * log(p_i))
= -log(e) * ∑(y_i) + ∑(y_i * log(p_i))
= -log(e) * 1 + ∑(y_i * log(p_i))
= ∑(y_i * log(p_i))

由此，我们可以看出交叉熵损失函数可以简化为∑(y_i * log(p_i))的形式。

接下来，我们计算dL/dp_i。考虑到∑(y_i) = 1，我们有：

dL/dp_i = d(∑(y_i * log(p_i)))/dp_i
= y_i