Min-max容斥学习笔记

最新推荐文章于 2024-07-20 22:22:13 发布

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本文深入探讨了Min-max容斥原理，包括基本概念、公式推导及其在不同场景下的应用，如按位或运算、随机游走问题及Kth-Min-max容斥等，通过实例解析帮助读者理解这一数学技巧。

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Min-max容斥

给定集合 $S$ , 其中最大的值是 $\max(S)$ , 最小的值是 $\min(S)$ , 则有下式
$\max(S) = \sum _ {T \subseteq S} (-1)^{|T| - 1} \min(T)$
考虑构造容斥系数 $f (i)$ , 使得下式成立
$\max(S) = \sum _ {T \subseteq S} f(|T|)\min(T)$
我们单独考虑每一个元素, 设当前元素是第 $x$ 大, 则有
$\sum _ {i = 0} ^ {x - 1}\binom{x - 1}{i}f(i + 1) = [x = 1]$
由二项式定理可知
$(-1)^i \to f(i) = (-1)^{i - 1}$

按位或

设 $ \max(S) $ 表示 $S$ 中最后一个元素被与出的期望时间, $ \min(S) $ 表示 $S$ 中第一个元素被与出的期望时间, 答案为
$\sum _ {T} (-1) ^ {|T| - 1}\min(T)$
设 $p (S)$ 为取到 $S$ 中任意一个元素的概率, 则有
$\min(S) = \sum _ {i = 1} ^ {+\infty} i \cdot p(S) \times (1 - p(S)) ^ {i - 1} \to \frac{1}{p(S)}$

$\sum _ {T \cap S \ne \varnothing}a_S$

这个东西不太好求, 我们考虑去求 $1 - p (S)$
$\sum _ {T \subseteq \complement_U^S} a_T$
这个就相当于求 $S$ 的补集的子集和, $\textbf{FMT}$ 一下就好了.

随机游走

设 $f [S] [i]$ 表示从 $i$ 出发第一次到达点集 $S$ 的期望步数, 枚举一个集合, 然后有转移
$\sum _ {v \in son_i} \frac{f[S][v]}{deg_i} + \frac{f[S][fa_i]}{deg_i} + 1$
这个东西可以用树上高消的小 $t r i c k$ 优化一下, 复杂度 $O (n)$ , 总复杂度 $O(2^nn)$ , 则有
$\max(S) = \sum _ {T \subseteq S} (-1)^{|T|}f[T][x]$
这个东西可以直接用 $\textbf{FMT}$ 预处理一下, 总复杂度为 $O(2^n n)$

Kth-Min-max容斥

我们定义一个集合 $S$ 中的第 $k$ 大为 $\textbf{Kth-Max}(S)$ , 集合 $S$ 中的最小值为 $ \min(S) $, 则有
$\textbf{Kth-Max}(S) = \sum _ {T \subseteq S} (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1}\min(T)$

重返现世

设 $f [i] [j] [k]$ 表示考虑了前 $i$ 个, 满足 $\sum _ {i \in T} p_i = j$ 且参量为 $k$ 的集合 $T$ 的下式的和 :
$\sum _ {T} (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1}$
考虑第 $i$ 个数是否加入集合, 如果不加入直接从 $f [i - 1] [j] [k]$ 转移, 否则 :
设 $\sum _ {i \in T} p_i$
$\begin{aligned} f[i][j][k] &= \sum _ {S(T) = j} (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1}\\ &=\sum _ {S(T) = j - p_i} (-1) ^ {|T| - k + 1} \binom{|T|}{k - 1}\\ &=\sum _ {S(T) = j - p_i} (-1) ^ {|T| - k + 1} \left(\binom{|T| - 1}{k - 2} + \binom{|T| - 1}{k - 1}\right)\\ &=\sum _ {S(T) = j - p_i} (-1) ^ {|T| - (k - 1)}\binom{|T| - 1}{(k - 1) - 1} + (-1) ^ {|T| - k + 1}\binom{|T| - 1}{k - 1}\\ &=\sum _ {S(T) = j - p_i} (-1) ^ {|T| - (k - 1)}\binom{|T| - 1}{(k - 1) - 1} - (-1) ^ {|T| - k}\binom{|T| - 1}{k - 1}\\ &=f[i - 1][j - p_i][k - 1] - f[i - 1][j - p_i][k ] \end{aligned}$
边界条件非常的神奇, $\forall k > 1, f[0][0][k] = -1$ , 这个可以手玩一下

这道题巧妙的运用了组合数的递推式, 还是很妙的.

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