【第六章 线性代数之 逆矩阵，列空间与零空间】3Blue1Brown

6.逆矩阵，列空间与零空间

整个系列旨在透过直观的线性变换来理解矩阵和向量的运算。线性代数除了在机器人和计算机图形学中有用，还可以用来解方程组。

当方程张成这样的时候：一次的，只有常量系数，未知量都写在左边，常数写在右边。

我们就可以把这个线性方程组写成下面这样：

• A表示一个线性变换的矩阵、
• x表示某个向量
• v表示经过某个A变换之后的一个向量

比如下图中这个例子，这个方程的解主要是看A：

• 如果A的行列式不为零，则依然是二维空间：在这种情况下总有一个向量在变换之后跟V重合，那这个向量就是我们唯一的解。
• 如果A的行列式为负数，那么空间发生了逆向的变换，它实际上对应了另外一个线性变换， 通常被记作"A的逆"，比如原来是顺时针旋转90度，逆就是逆时针旋转90度。那么对一个向量先应用A代表的变换，再应用A逆代表的变换，那就又变回了原来的样子，两个变换相继应用还记得怎么算的吗？对，矩阵乘法。也就是说A乘以A逆会得到一个“什么都不做的矩阵”，这个什么都不做被称为恒等变换。我们可以用此来求解（同时左乘，就可以求出向量X，这也会求出一个唯一解）。
• 如果A的行列式为零，则空间会出现降维。上述求解就是通过求A逆，也就是找一个相反的操作。比如说先顺时针旋转90度，再做剪切，就可以通过先剪切再做逆时针的90度，变回去。但是当空间出现降维之后，我们没有办法通过已知一条直线，恢复成唯一的一个平面，但是我们可以找出无数个平面降维之后变成这个直线，所以，这种情况下有解，但是解不是唯一的。这个地方插播一条重要新闻，当变换的结果为一条直线的时候，也就是说结果是一维的时候，我们称这个变换的秩为1。同理，当变换的结果是个平面，并且是个二维的时候，这个变换的秩就为2。所以说，“秩”代表着变换后空间的维数。所以当行列式不为0的时候，空间维度不变，秩就是原来的空间的维度。
  
  列空间：
  矩阵的列告诉你基向量变换的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果，换句话说：列空间就是矩阵的列所张成的空间。
  
  零空间：简单理解就是空间压缩之后零向量的位置，对应之前未压缩的所有向量（感兴趣的可以去看动画，动画更好理解）。

附注2-非方阵

在此之前的讲解内容都是关于方阵的，这一节补充学习的内容是关于非方阵的。就目前的进度而言，我们已经拥有了大部分背景知识。

当一个向量从二维的平面经过线性变换放在三维空间中。那么按照我们在第三章线性组合中学习的，我们的矩阵的每一列就是基向量变换之后的坐标。用上章的内容解释，这个矩阵列向量张成的空间是三维空间中一个过原点的二维平面。但是这个矩阵依然是满秩的。因为列空间的维数与输入空间的维数相等。（注意，这个矩阵张成的空间可是三维空间中的 一个过原点 的二维平面！！！）

所以看到下面的三行两列的矩阵，就明白它的几何意义是将二维空间映射到三维空间上，因为矩阵有两列意味着本来有两个基向量，但是有三行意味着每一个基向量在变换之后都用三个独立的坐标来描述。

那么如果当你看到下面这个一个两行三列的矩阵的时候，它代表着什么呢？

• 一个三维空间到二维空间的映射（本来有三个基向量（三列），变换之后变成了二维的（两行））