线性基简单学习笔记

线性基

• 百度百科【IN】
  百度的第一句话似乎有点怪异

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其实，对于广义的线性基，也就是线性代数里面的基。一个基也相当于该空间内的一个集合。

其实一个基的最大的特点就是：

1. 它可以线性表出所有该空间里的向量（元素）
2. 它的大小是最小的（也就是基中的元素个数不多）
3. 且它的任何一个非空子集不会线性表出空集。

对于线性表出的意思，可以简单的理解为一些元素通过一种运算可以得到另一个元素，就称这些元素线性表出了另一个元素（线性表示出的意思）

关于第三点，可以简单证明一下，用反证法：
假如，对于${⨁}_{i=1}^n{a}_i=\varnothing$，那么我们将左边的一个元素移动到右边，则变成了${⨁}_{i=1}^n{a}_i[i̸=j]=a_j$，那么$a_j$这个元素就可以被${⨁}_{i=1}^n{a}_i[i̸=j]$线性表出了，所以将$a_j$删除，剩下的才是线性基。

这里，我们只讲在异或意义下的线性基，也就是$⨁=xor$。

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除了对于数在二进制下的异或，我们可以将其推广到集合上，也就变成了对称差，那么可以用同样的方式对于一系列集合求其线性基。

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一些定义：

• 异或和

这里我们的异或和不是$a_{i}xor{a}_j+a_{k}xor{a}_w\cdots$，而是${xor}_{i=1}^n{a}_i$，也就是所有的$a_i$异或起来。其中$a_i$为无符号的整数类型。

• 线性相关

学过线性代数的人应该知道吧QAQ
对于一个集合$S$和集合中的任意一个元素$s_j$，这个$s_j$可以由集合中的其它元素线性表出，那么就称集合$S$线性相关，反之就如果所有的$s_i$都不满足该性质，就称为线性无关。

• 张成

对于一个集合$S$的张成，我们简记为$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{S})$，其中：
s p a n ( S ) = { t ∣ t = ⨁ s i ∈ S ′ s i } ( S ′ 为 S 的 子 集 ) \rm span(S)=\{t|t=\bigoplus_{s_i\in S^{'}}s_i\}(S^{'}为S的子集) span(S)={t∣t=si​∈S′⨁​si​}(S′为S的子集)
用文字来说，就是对于每一个$S$的子集的线性运算结果所组成的集合称作这个集合的张成。

一个结论就是对于一个线性相关的集合$S$，去除其中任意一个元素，它的张成不变（因为这个去除的元素可以由其他的表出），这个也可以来证明最开始的特点3。

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这里我们来定义线性基：

线性基

我们称一个集合（基）$X$为$S$的线性基，当且仅当：

1. $X$是线性无关的（如果线性相关的话，我们可以将一些可以表出的元素删除，因为要保证最小，所以必须线性无关）
2. $S\subseteq \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{B})$，也就是这个集合$S$可以由$X$线性表出（$S$为$X$的张成子集）。

• 性质

1. $X$是最小的满足条件的集合，它的任何真子集都不可能是新的线性基，因为少了任何一个元素，那么由于线性无关，这个元素就不能被剩下的表出了，那么就不符合条件2。
2. $S$中的任意元素都可以被$X$线性表出。（其实也就是条件2）

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构造

我们这里只讲在异或的运算下如何快速构造：

对于一个无符号（非负数）整数集$S$，我们令它的元素最大二进制位的个数为$L$，我们可以发现，只需对于每一位存储一个元素，那么就可以表出所有的了，所以我们可以构造一个 l o g ( max ⁡ { s i } ) log(\max\{s_i\}) log(max{si​})大小的线性基。

构造方式为将每个元素$s_i$插入线性基，那么复杂度就为 O ( ∣ S ∣ l o g ( max ⁡ { s i } ) ) O(|S|log(\max\{s_i\})) O(∣S∣log(max{si​}))

所以我们令$X$为其线性基，那么可以安照如下方式构造：

• 从高位到低位扫描$s_i$：

1. 当$x_i=0$时且$s_i$第$i$位为$1$，那么我们令$x_i=s_i$，然后即可停止扫描，因为到插入$s_i$为止，只有$s_i$能表出第$i$位的$1$。
2. 当$x_i̸=0$时，由于这一位已经可以表出了，所以我们将$s_i$异或上这一位的值，继续扫描（因为要保证可以表出每一位且线性无关）。

那么构造方式就是这样，代码实现非常简单，如下：

void insert(int si){
	for(int i=maxbit;i>=0;i--){
		if(!(si>>i)&1) continue;
		if(!X[i]){X[i]=si;return;}
		si^=X[i];
	}
}

对于合并两个线性基，就是将一个线性基中的元素插入另一个，复杂度为 ( l o g ( max ⁡ { s i } ) ) 2 (log(\max\{s_i\}))^2 (log(max{si​}))2

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应用

1. 给出你一个集合$S$，和一个数字$a$，让你求$axor{s}_i$最大：其实这个就扫一遍$s_i$即可，不用线性基。
2. 给出你一个集合$S$，和一个数字$a$，让你判断这个集合能否表出（异或出）$a$：先求出线性基，我们就从二进制高位到低位扫描，如果第$i$位为$1$，那么就将$axor{x}_i$，如果最终$a=0$则表示可以（也就是看能否插入线性基，如果不能插入则就可以表示出来，根据线性基的定义即可知道）。
3. 给你一个集合$S$，求出这个集合能够异或出的最大值：我们求出$S$的线性基，然后扫一遍，每次取 a n s = max ⁡ { a n s , a n s   x o r   x i } ans=\max\{ans,ans\ xor\ x_i\} ans=max{ans,ans xor xi​}即为答案。
4. 给你一个集合$S$，求这个集合能否线性表出一个元素$a$：就是把$a$带进去，每一位能消除就消掉，如果最后变成0了就说明可以，否则就不行。
5. 求异或的第$k$大【题目地址】：将$k$按位拆分，贪心即可

//话说loj的格式化代码的功能真好用OvO
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int M = 55;
int n, m;
ll bit[M], up;
void insert(ll a) {
    for (int i = M - 1; i >= 0; i--) {
        if ((a >> i) & 1) {
            if (!bit[i]) {
                bit[i] = a;
                ++up;
                return;
            } else
                a ^= bit[i];
        }
    }
}
void calc(ll a) {
    if (a > (1ll << up)) {
        puts("-1");
        return;
    }
    ll ans = 0, tot = up;
    a -= (up < n);
    for (int i = M - 1; i >= 0; i--) {
        if (bit[i]) {
            if (((ans >> i) & 1) ^ ((a >> (--tot)) & 1))
                ans ^= bit[i];
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
ll x;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &x);
        insert(x);
    }
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%lld", &x);
        calc(x);
    }
    return 0;
}

6. 合并线性基

其实除了异或的线性基，还有实数域上的线性基

【实数线性基-例题】

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End

若有错，请及时提出联系博主
萌新才学QWQ

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洛谷模板IN

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=65;
ll rec[M],a,ans;
void insert(ll a){
	for(int i=61;i>=0;i--){
		if(!(a>>i)&1) continue;
		if(!rec[i]){rec[i]=a;return;}
		a^=rec[i];
	}
}
ll getmax(){
	for(int i=61;i>=0;i--)ans=max(ans,ans^rec[i]);
	printf("%lld\n",ans);
}
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a),insert(a);
	getmax();
	return 0;
}

比较正规的构造方法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int B = 61;
int n;ll a[B+1];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ll x;
        scanf("%lld", &x);
        for (int bit = B; bit >= 0; bit--) {
            if ((x >> bit) & 1) {
                if (a[bit]) x ^= a[bit];
                else {
                    a[bit] = x;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i <= B; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if ((a[i] >> j) & 1) a[i] ^= a[j];
        }//本质类似于高斯消元
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i <= B; i++) ans ^= a[i];//这样构造出来的就不用每次取max了
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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参考学习博客：
【友链-Althen】
【menci-Orz%%%】
【ljh2000-Orz%%%】