信号处理——傅里叶变换

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离散信号 $x[n]$ 的傅里叶变换为：

X (Ω) = Σ + \infty n = - \infty x [n] e - j n Ω

$X(\Omega)= \Sigma_{n=- \infty}^{+\infty}x[n]e^{-jn\Omega}$
当

Ω $\Omega$ 固定时，信号

x[n] $x[n]$ 的频率越接近

Ω $\Omega$ 时DFT的值越大。注意，这里

Ω $\Omega$ 表示频率，一般用弧度表示。
欧拉恒等式

eiθ=cosθ+jsinθ $e^{i\theta}=\cos\theta + j \sin\theta$ 。

离散傅里叶变换有两个特性：

时延特性
现有信号 $x[n]$ 对应的DFT为 $X(\Omega)$ ，那么时延信号 $x[n-n_0]$ 对应的DFT为：
$Σ + \infty n = - \infty x [n - n 0] e - j n Ω = Σ + \infty m = - \infty x [m] e - j (m + n 0) Ω = e - j n 0 Ω Σ + \infty m = - \infty x [m] e - j m Ω = e - j n 0 Ω X (Ω)$ $\begin{align} \Sigma_{n=- \infty}^{+\infty}x[n-n_0]e^{-jn\Omega} & = \Sigma_{m = - \infty}^{+\infty}x[m]e^{-j(m+n_0)\Omega } \\ &=e^{-jn_0\Omega}\Sigma_{m = - \infty}^{+\infty}x[m]e^{-jm\Omega } \\ &=e^{-jn_0\Omega}X(\Omega) \end{align}$
周期特性
$X (Ω + 2 π) = Σ + \infty n = - \infty x [n] e - j n (Ω + 2 π) = e - j 2 π n Σ + \infty n = - \infty x [n] e - j n Ω = Σ + \infty n = - \infty x [n] e - j n Ω = X (Ω)$ $\begin{align} X(\Omega+2\pi) & =\Sigma_{n=- \infty}^{+\infty}x[n]e^{-jn(\Omega +2\pi)} \\ &=e^{-j2\pi n}\Sigma_{n=- \infty}^{+\infty}x[n]e^{-jn\Omega} \\ &= \Sigma_{n=- \infty}^{+\infty}x[n]e^{-jn\Omega} \\ &=X(\Omega) \end{align}$