信号处理（一）获取信号频谱——傅里叶变换

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前言

本文主要介绍傅里叶变换的思想及matlab实现，旨在用简单的语言讲清楚。由于傅里叶变换的原理涉及大量数学推导，因此不过多介绍。

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一、傅里叶变换是什么？

1.信号分解

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在高中，我们知道，对于一个向量 $a=(x,y)$，可以用二维平面上的一个有向箭头来表示，并且，这个有向箭头可以被分解到x轴和y轴上，即

$(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$

这个过程就是将向量分解成最简单的向量的过程，而这“最简单的向量”，数学上称之为“基”。对于信号，我们也希望能够将其分解为简单的函数之和，因此，信号分解就是寻找“基函数”，并确定每个基函数的幅值大小的过程。

2.简谐运动

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自然界中，当物体发生振动时，最简单最基本的振动类型即为简谐运动，用数学函数来表达简谐运动，会发现其实质就是正弦运动，用三角函数表达。

$x=A\times sin(\omega \times t+\varphi )$

而在高数中，我们知道三角函数是正交的。因此，三角函数系能够作为信号的正交基函数。

3.傅里叶级数

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对于时域上的连续周期信号$x(t)$，可以将其分解成多个三角函数之和。

$x(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }$