动态规划问题

本文参考书籍《图解算法》

举例说明动态规划问题
考虑一个场景：周末准备一场户外旅行，要准备一些物品，你有一个可承载8kg背包和一些物品，物品也有重量和需求值，全部物品重量超过背包承重，因此无法全部携带，如何去选取价值总量最高的物品组合呢？

物品名	重量	价值
water	1kg	10
food	2kg	8
tent	3kg	9
camera	1kg	6
book	1kg	3
jacket	2kg	5

一、最简单的算法如下:尝试各种可能的商品组合，并找出价值最高的组合。6件商品共有64种集合方式,时间为O(2^n),也就是随着待选物品的增多，需要计算的组合呈幂次方 增加。
代码如下

import numpy
from itertools import combinations

bag = 5  # 购物袋能承受的最大承载值

#定义重量
weight={}
weight["water"]=1
weight["book"]=1
weight["food"]=2
weight["jacket"]=2
weight["camera"]=1
weight["tent"]=3

#定义价值
worth={}
worth["water"]=10
worth["book"]=3
worth["food"]=8
worth["jacket"]=5
worth["camera"]=6
worth["tent"]=9


goods_list = ["water", "book", "food", "jacket", "camera", "tent"]       # 物品列表

com_lists = list()
for i in range(1, len(goods_list)+1):
    com_lists += list(combinations(goods_list, i))                       # 获得所有物品的所有排列组合，非重复

best_worth = 0                                                           # 存最佳值
for one_list in com_lists:                                                
    one_weight = 0
    one_worth = 0
    for goods in one_list:
        one_weight += weight[goods]
        one_worth += worth[goods]

    if one_weight <= 5:                                                  # 当总重量小于5时，并且比best_worth值大时，取最佳值，直到遍历所有组合
        if one_worth > best_worth:
            best_worth = one_worth
            best_com = one_list

print(best_com,best_worth)

计算结果为(‘water’, ‘book’, ‘food’, ‘camera’) 27

二、下面试一下动态规划的方法

动态规划先将背包的承载量划分为小块，第一行的记录为细分的小背包能承受的重量，竖排为物品，然后空格中填写每个小背包中能放下的物品的最大价值。当然，你只能填写本行物品和之前行的物品。
每个动态规划算法都从一个网格开始，背包问题的网格如下。

物品名/重量	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg
water
food
tent
camera
book
jacket

网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格，网格填满后，就找到了问题的答案！

water行

物品名/重量	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg
water	10	10	10	10	10
food
tent
camera
book
jacket

注意填入规则：在1-6kg的背包中，选择当前行或者之前行的物品，使在承载范围内的物品价值最大。
填入的原则为：
table[i][j]= max(table[i-1][j],当前商品的价值+剩余空间价值(table[i-1][j-当前商品重量])）

物品名/重量	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg
water	10	10	10	10	10
food	10	10	18	18	18
tent	10	10	18	19	19
camera	10	16	18	19	25
book	10	16	19	24	27
jacket	10	16	19	24	27

如图所示，表格的右下方数值就是5kg背包所能承载物品的最大价值，物品组合为：water，food，camera，book。