【数分】2. 统计学知识点

Jon Shen

已于 2022-07-11 11:57:58 修改

阅读量2.5k

点赞数 2

分类专栏：数据分析进阶之路文章标签：概率论

于 2022-06-21 01:41:59 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/VictorJones529/article/details/125381599

版权

文章目录

1. 随机变量
- 1.1 随机试验 & 随机变量 & 样本
- 1.2 离散型随机变量 & 连续型随机变量
2. 常用特征
3. 中心极限定理
4. 假设检验
5. 贝叶斯统计概论

1. 随机变量

1.1 随机试验 & 随机变量 & 样本

随机试验是指在相同的条件下对某随机现象进行的大量重复观测。三个特点：试验结果可列举；可重复试验（相同的条件）；结果随机出现。

「随机变量」描述的是随机试验的结果，通常用大写的 $X$ 来表示， $X$ 可能是一个单独的随机试验结果，也可能是多个随机试验结果的组合，把偶哦结果的总数或者均值。

样本为每次随机试验的结果，也称为「观测值」。根据样本量的不同，将不同的随机试验称为样本量为 $n$ 的随机试验。

1.2 离散型随机变量 & 连续型随机变量

随机变量可以分为两种：离散型随机变量和连续型随机变量。二者的区别在于所描述的随机试验所有可能的结果数量是否可数（countable）。要特别留意这里用的是「可数」，而不是「有限」。

离散随机变量分布率 $E X$ $D X$

伯努利分布: $\sim B(1, p)$ $P (X = 1) = p$ , $P (X = 0) = 1 - p$ $p$ $p (1 - p)$

二项分布: $\sim B(n, p)$ $P(X=x)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ $n p$ $n p (1 - p)$

泊松分布: $\sim P(\lambda)$ $P(X=x)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda} }{k!}$ $\lambda$ $\lambda$

二项分布：n个重复独立的伯努利分布。重复独立：各实验结果相互独立、每个伯努利分布发生概率均为 $p$ 。
泊松分布：适合描述在单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，eg：某App在单位时间内访问的人数。

离散随机变量	分布率	$E X$	$D X$
伯努利分布: $\sim B(1, p)$	$P (X = 1) = p$ , $P (X = 0) = 1 - p$	$p$	$p (1 - p)$
二项分布: $\sim B(n, p)$	$P(X=x)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$	$n p$	$n p (1 - p)$
泊松分布: $\sim P(\lambda)$	$P(X=x)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda} }{k!}$	$\lambda$	$\lambda$

累积分布函数(CDF)- $F (x)$ 与概率密度函数(PDF)- $f (x)$ 的关系： $F(x)=P(X\le x), F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx$ 。

连续型随机变量概率密度函数 $E X$ $D X$

均匀分布: $\sim U(a, b)$ $f(x)=\frac{1}{b-a}, x\in [a, b]$ $\frac {a+b}{2}$ $\frac {(b-a)^2}{12}$

正态分布: $\sim N(\mu, \sigma^2)$ $f(x)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ $\mu$ $\sigma^2$

指数分布: $\sim E(\lambda)$ $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0$

连续型随机变量	概率密度函数	$E X$	$D X$
均匀分布: $\sim U(a, b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a}, x\in [a, b]$	$\frac {a+b}{2}$	$\frac {(b-a)^2}{12}$
正态分布: $\sim N(\mu, \sigma^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$
指数分布: $\sim E(\lambda)$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0$

最低0.47元/天解锁文章