二次型

二次型及其矩阵

1. 含$n$个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次多项式 $$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\tag{1}$$ 称为二次型
   当$a_{ij}(i,j=1,2,...,n)$为实数时，称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为实二次型；当$a_{ij}(i,j=1,2,...,n)$为复数时，称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为复二次型
2. 在式（1）中令$a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,...,n)$，则式（1）可表示为 $$f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+...+a_{2n}x_2x_n+...+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+...+a_{nn}x_n^2=x_1(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n)+x_2(a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{1n}x_n)+...+x_n(a_{n1}x_1+x_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n)=(x_1,x_2,...,x_n)\left( \begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\\...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n\end{matrix} \right)=(x_1,x_2,...,x_n)\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{matrix} \right) .$$ 记$x=\left( \begin{matrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{matrix} \right)，A=\left( \begin{matrix} a_{11}& a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{matrix} \right)$，则二次型（1）可写成 $$f(x)=x^TAx，$$ 其中$A$为对称矩阵，称其为二次型$f(x)$的矩阵.矩阵$A$的秩$R(A)$称为二次型的秩
3. 称关系式 $$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_{2}+...+c_{1n}y_n，\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_{2}+...+c_{2n}y_n，\\ ......\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_{2}+...+c_{nn}y_n ， \\ \end{aligned} \right. \end{equation} \tag{2}$$ 为由$y_1,y_2,...,y_n$到$x_1,x_2,...,x_n$的一个线性变换.记 $$C=\left( \begin{matrix} c_{11}& c_{12}&...&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&...&c_{2n}\\...\\c_{n1}&c_{n2}&...&c_{nn}\end{matrix} \right)，$$ 则线性变换（2）可以写成矩阵形式 $$x=Cy.$$ 称矩阵$C$为线性变换（2）的矩阵.当$C$可逆时，称该线性变换为可逆线性变换.特别地，当矩阵$C$为正交矩阵时，称该线性变换为正交变换.
   对二次型$f=x^TAx$，经可逆线性变换$x=Cy$，有 $$f=x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y.$$
4. 设$A,B$都是$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵$C$，使$B=C^TAC$，则称矩阵$A$与$B$合同.
   令$B=C^TAC$，因 $$B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B，$$ 所以$B$仍然是对称矩阵.于是$y^TBy$是以$B$为矩阵的二次型，又因矩阵$C$可逆，则 $$R(B)=R(C^TAC)=R(A).$$ 由此可知，对二次型$f=x^TAx$经可逆线性变换$x=Cy$后，得到以与$A$合同的矩阵$C^TAC$为矩阵的二次型，且二次型的秩保持不变.
5. 矩阵合同具有以下性质：
   
   1. 自反性：对任意$n$阶矩阵$A$，有$A$合同于$A$.
   2. 对称性：若$A$合同于$B$，则$B$合同于$A$.
      事实上，若$A$与$B$合同，则存在可逆矩阵$C$，使$B=C^TAC$.于是$A=(C^T)^{-1}BC^{-1}=(C^{-1})^TBC^{-1}$，从而$B$与$A$合同.
   3. 传递性：若$A$与$B$合同，$B$与$C$合同，则$A$与$C$合同

化二次型为标准形

1. 对二次型$f=x^TAx$，寻求可逆变换$x=Cy$，使二次型变为只含平方项的形式： $$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2.\tag{3}$$ 称（3）式为二次型$f$的标准形.
   如果标准形的系数$k_1,k_2,...,k_n$只取$1,-1,0$，即 $$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2. \tag{4}$$ 称（4）式为二次型的规范形
2. 要使二次型$f$经可逆变换$x=Cy$变成标准形，就是使 $$(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y=k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2=(y_1,y_2,...,y_n)\left( \begin{matrix} k_1\\ &k_2\\&&...\\&&&k_n \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} y_1\\y_2\\.\\.\\.\\y_n\end{matrix} \right)，$$ 也就是要使$C^TAC$成为对角阵.因此，问题转化为：对于对称矩阵$A$，寻求可逆矩阵$C$，使$C^TAC$为对角阵，即矩阵$A$合同于对角矩阵

用正交变换化二次型为标准形

1. 对任一实对称矩阵$A$，总有正交矩阵$P$，使$P^{-1}AP=\Lambda$，即$P^TAP=\Lambda$.
2. 任给二次型$f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}(a_{ij}=a_{ji})$，总有正交变换$x=Py$，使$f$化为标准形 $$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2，$$ 其中$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$是二次型$f$的矩阵$A=(a_{ij})$的特征值

用配方法化二次型为标准形

惯性定理

1. 任一二次型$f=x^TAx$都可以通过可逆线性变换化为规范形 $$f=y_1^2+y_2^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2，$$ 且规范形是唯一的，$r=R(A)$是二次型$f$的秩
   称规范形中正项个数$p$为二次型的正惯性指数，负项个数$r-p$为二次型的负惯性指数
2. 对任意$n$阶实对称矩阵$A$，都存在可逆矩阵$C$，使得$C^TAC=\Lambda$，其中$\Lambda=\left( \begin{matrix} E_p\\ & -E_{r-p}\\&&0 \end{matrix} \right)，r=R(A)$

正定二次型

1. 设有二次型$f(x)=x^TAx$，如果对任何非零向量$x$，都有$f(x)=x^TAx>0$，则称$f$为正定二次型，并称对称矩阵$A$为正定矩阵；如果对任何非零向量$x$，都有$f(x)=x^TAx<0$，则称$f$为负定二次型，并称对称矩阵$A$为负定矩阵
2. 关于二次型正定性的判定，有以下定理：
   设$A$是$n$阶实对称矩阵，则下列命题等价
   
   1. $f(x)=x^TAx$是正定二次型（或$A$是正定矩阵）；
   2. 二次型$f(x)=x^TAx$的正惯性指数为$n$，即$A$合同于$E$；
   3. 存在可逆矩阵$P$，使得$A=P^TP$；
   4. $A$的$n$个特征值全大于零.
3. 对称矩阵$A$为正定的充分必要条件是：$A$的各阶顺序主子式全大于零，即 $$a_{11}>0，\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21}& a_{22} \end{matrix}\right|>0，...，\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} &...&a_{2n}\\...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix}\right|>0$$
   对称矩阵$A$为负定的充分必要条件是：$A$的奇数阶顺序主子式小于零，而偶数阶顺序主子式大于零