再学莫比乌斯反演

闲扯

莫比乌斯反演忘得差不多了，导致前几场比赛看到什么计数都像是莫比乌斯，被队友嘲笑了一波，还是学艺不精啊，是时候再学一遍了。
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刚接触这东西的时候我以为他是一类经验总结而来的经验函数，后来发现我真是$Tooyoungtoosimple$。

下面是莫比乌斯反演的定义$:$

$F(x)={\sum }_{d|x}f(d)\iff f(x)={\sum }_{d|x}\mu (\frac{x}{d})F(d)\iff f(x)={\sum }_{d|x}\mu (d)F(\frac{x}{d})$

$F(d)={\sum }_{d|x}f(x)\leftrightarrow f(d)={\sum }_{d|x}\mu (\frac{x}{d})F(x)$
$$\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& \text{d = 1}\\ (-1{)}^r& \text{d=p1p2...pr,其中pi为不同的素数}\\ 0& \text{else}\end{array}$$

显然可以看出莫比乌斯反演有两种表现形式，第二种形式暂时我也没想到怎么证明。第一种倒是证明的方法有很多，这里从离散数学的角度来给出证明。

对数论函数 $f$ 和 $g$，有$f\bowtie g(n)={\sum }_{ij=n}f(i)g(j)$ 称为狄利克雷卷积。

莫比乌斯反演实际上可以看作这样的一个卷积，可以利用上面的卷积形式来给出证明。
在证明之前，我们首先有这些假设，这些假设都可以证明，离散课上都讲过考试也都考过就不细说了(其实是卤煮忘了- -):

• 狄利克雷卷积是一个交换群。交换群的意思是说满足结合律、交换律、存在单位元和逆元。
• 单位元$ϵ$ 为$f(x)=[x==1]$。

有了这些假设便可以很方便的证明莫比乌斯反演了。

• 设函数$One(x)=1$。
• 假设现在我们知道$F(x)={\sum }_{d|x}f(x)$即$F=f\bowtie One$, 要证明的是其反演的形式，即证明$f=F\bowtie \mu$。
• 很容易得$\mu \bowtie One=ϵ$，也就是说$One$是$\mu$的逆元。那么是不是有$F\bowtie \mu =f\bowtie One\bowtie \mu$，因为狄利克雷卷积满足交换律和结合律，所以有$F\bowtie \mu =f\bowtie (\mu \bowtie One)=f\bowtie ϵ=f$，证毕。

然后

常用的几个数论定理

• ${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n==1]$

• ${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$

• ${\sum }_{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\varphi (n)}{n}$

• $a^b\equiv a^{\varphi (p)}{a}^{b\%\varphi (p)}(modp)$

• $$\begin{gathered} ifp|n:\varphi (n\ast p)=p\varphi (n) \\ else:\varphi (n\ast p)=(p-1)\varphi (n) \\ (pisaprime) \end{gathered}$$