线段树入门

最新推荐文章于 2021-05-20 01:59:24 发布

闲庭絮

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/VP_Death_Note/article/details/81911319

这篇博客介绍了线段树的基础知识，包括定义、建树过程、点修改和区间查询的操作。提供了两个线段树的应用实例，分别是POJ 3264的Balanced Lineup问题和HDU 1754的I Hate It问题，帮助读者深入理解线段树在区间查询和点修改场景中的应用。

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传送门1

传送门2

维基百科：线段树区间查询

(0)定义：

#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
const int maxn=1e5+5;//元素总个数
int sum[maxn<<2];//Sum求和，开四倍空间
int a[maxn];//原数组下标[1,n]

(1)建树：

#include<bits/stdc++.h>
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
using namespace std;
void push_up(int rt)//push_up函数更新节点信息，这里是求和
{
    sum[rt]=sum[lson]+sum[rson];
}
void build(int l,int r,int rt) //[l,r]表示当前节点区间，rt表示当前节点的实际存储位置
{
    if(l==r){//若到达叶节点
        sum[rt]=a[l];//存储a数组的值,应该是a[l]
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    //左右递归
    build(l,mid,lson);
    build(mid+1,r,rson);
    //更新信息
    push_up(rt);
}

(2)点修改：

假设A[L]+=C

void update(int L,int C,int l,int r,int rt){//[l,r]表示当前区间，rt是当前节点编号//l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号
    if(l==r){//到达叶节点，修改叶节点的值
        sum[rt]+=C;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
   //根据条件判断往左子树调用还是往右
    if(L <= m) update(L,C,l,m,lson);
    else       update(L,C,m+1,r,rson);
    push_up(rt);//子节点的信息更新了，所以本节点也要更新信息
}

点修改其实可以写的更简单，只需要把一路经过的Sum都+=C就行了，不过上面的代码更加规范，在题目更加复杂的时候，按照格式写更不容易错。

(3)区间查询（本题为求和）：

询问A[L..R]的和

注意到，整个函数的递归过程中，L,R是不变的。

首先如果当前区间[l,r]在[L,R]内部，就直接累加答案

如果左子区间与[L,R]有重叠，就递归左子树，右子树同理。

int query(int L,int R,int l,int r,int rt){//[L,R]表示操作区间，[l,r]表示当前区间，rt:当前节点编号
    if(L <= l && r <= R){  
       //在区间内直接返回
        return Sum[rt];  
    }  
    int m=(l+r)>>1;  
    //左子区间:[l,m] 右子区间：[m+1,r]  求和区间:[L,R]
   //累加答案
    int ans=0;  
    if(L <= m) ans+=query(L,R,l,m,lson);//左子区间与[L,R]有重叠，递归
    if(R >  m) ans+=query(L,R,m+1,r,rson); //右子区间与[L,R]有重叠，递归
    return ans;  
}

传送门

下面有两个线段树入门级例题

POJ 3264 Balanced Lineup 求区间的最大值-最小值

rt<<1|1 效果等于 rt<<1+1 ,但是把|换成+后 ,答案就不对了

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
#define mid ((l+r)>>1)//注意最外层别少了括号
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
const int maxn=50005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int Max[maxn<<2];//原来的4倍
int Min[maxn<<2];
int ans1,ans2;
void build(int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){//到了叶节点
        scanf("%d",&Max[rt]);
        Min[rt]=Max[rt];
    }
    else{
        build(l,mid,lson);
        build(mid+1,r,rson);
        Max[rt]=max(Max[lson],Max[rson]);
        Min[rt]=min(Min[lson],Min[rson]);
    }
}
void query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    if(L<=l&&r<=R){
        ans1=max(ans1,Max[rt]);
        ans2=min(ans2,Min[rt]);
    }
    else{
        if(L<=mid)
            query(L,R,l,mid,lson);
        if(R>mid)
            query(L,R,mid+1,r,rson);
    }
}
int main()
{
    int n,m,L,R;
    while(cin>>n>>m){
        build(1,n,1);
        while(m--){
            ans1=-inf;
            ans2=inf;
            scanf("%d%d",&L,&R);
            query(L,R,1,n,1);
            cout<<ans1-ans2<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

HDU 1754 I Hate It单点更新，区间查询最大

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mid ((l+r)>>1)
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
const int maxn=2e5+10;
int tree[maxn<<2];
void push_up(int rt)
{
    tree[rt]=max(tree[lson],tree[rson]);
}
void build(int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){
        scanf("%d",&tree[rt]);
        return ;
    }
    build(l,mid,lson);
    build(mid+1,r,rson);
    push_up(rt);
}
void update(int p,int c,int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){
        tree[rt]=c;//题目是更改一名学生的成绩
        return ;
    }
    if(p<=mid)
        update(p,c,l,mid,lson);
    else
        update(p,c,mid+1,r,rson);
    push_up(rt);//上层也要修改
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    if(L<=l&&r<=R)//[l,r]是[L,R]的子集
        return tree[rt];
    int ans=0;
    if(L<=mid)
        ans=max(ans,query(L,R,l,mid,lson));
    if(R>mid)
        ans=max(ans,query(L,R,mid+1,r,rson));
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        build(1,n,1);
        while(m--){
            char letter;
            int a,b;
            cin>>letter;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(letter=='Q')
                cout<<query(a,b,1,n,1)<<endl;
            else
                update(a,b,1,n,1);
        }
    }
    return 0;
}

敌兵布阵点修改，区间求和

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#define mid ((l+r)>>1)
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
using namespace std;
const int maxn=5e5;
int tree[maxn<<2];
void push_up(int rt)
{
    tree[rt]=tree[lson]+tree[rson];
}
void build(int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){
        scanf("%d",&tree[rt]);
        return ;
    }
    build(l,mid,lson);
    build(mid+1,r,rson);
    push_up(rt);
}
void add(int p,int c,int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){
        tree[rt]+=c;
        return ;
    }
    if(p<=mid){
        add(p,c,l,mid,lson);
    }
    if(p>mid){
        add(p,c,mid+1,r,rson);
    }
    push_up(rt);
}
void sub(int p,int c,int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){
        tree[rt]-=c;
        return ;
    }
    if(p<=mid){
        sub(p,c,l,mid,lson);
    }
    if(p>mid){
        sub(p,c,mid+1,r,rson);
    }
    push_up(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    if(L<=l&&r<=R){
        return tree[rt];
    }
    int ans=0;
    if(L<=mid){
        ans+=query(L,R,l,mid,lson);
    }
    if(R>mid){
        ans+=query(L,R,mid+1,r,rson);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int t=1;
    while(T--){
        int n;
        cin>>n;
        int flag = 1;
        build(1,n,1);
        string s;
        cin>>s;
        string _end="End";
        string _add="Add";
        string _query="Query";
        string _sub="Sub";
        while(s!=_end){
            if(flag){
                cout<<"Case "<<t++<<":"<<endl;
                flag=0;
            }

            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(s==_add){
                add(a,b,1,n,1);
            }
            else if(s==_sub){
                sub(a,b,1,n,1);
            }
            else if(s==_query){
                cout<<query(a,b,1,n,1)<<endl;
            }
            cin>>s;
        }
    }
    return 0;
}