Newcoder 142 D.Another Distinct Values（构造）-优快云博客

探讨如何使用-1,0,1构造n×n矩阵，确保所有行和列的和各不相同，提出了解决方案并提供了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

用 $-1,0,1$ 构造一个 $n\times n$ 矩阵，使得行和，列和这 $2n$ 个数字不同

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入一整数 $n(1\le T,n\le 200)$

Output

如果无解则输出 $impossible$ ，否则输出 $possible$ 以及一种方案

Sample Input

2
1
2

Sample Output

impossible
possible
1 0
1 -1

Solution

行列和范围为 $[-n,n]$ 共 $2n+1$ 种取值，那么行列和若合法则至少有 $n$ 个非负，假设合法方案的行列和分别为 $r_1,...,r_n,c_1,...,c_n$ ，通过对行列的排序显然可以使得 $r_1,...,r_k\ge 0,c_1,...,c_{n-k}\ge 0$ ，考虑两个式子

\sum i = 1 n | r i | + \sum i = 1 n | c i | \geq \sum i = - n n | i | - n = n 2

$\sum\limits_{i=1}^n|r_i|+\sum\limits_{i=1}^n|c_i|\ge \sum\limits_{i=-n}^{n}|i|-n=n^2$

\sum i = 1 n | r i | + \sum i = 1 n | c i | = = = \leq \sum i = 1 k r i - \sum i = k + 1 n r i + \sum i = 1 n - k c i + \sum i = n - k + 1 n c i \sum i \leq k a i j - \sum i > k a i j + \sum j \leq n - k a i j - \sum i > n - k a i j 2 \sum i = 1 k \sum j = 1 n - k a i j - 2 \sum i = k + 1 n \sum j = n - k + 1 n a i j 4 k (n - k)

$\begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=1}^n|r_i|+\sum\limits_{i=1}^n|c_i|&=&\sum\limits_{i=1}^kr_i-\sum\limits_{i=k+1}^nr_i+\sum\limits_{i=1}^{n-k}c_i+\sum\limits_{i=n-k+1}^nc_i\\ &=&\sum\limits_{i\le k}a_{ij}-\sum\limits_{i>k}a_{ij}+\sum\limits_{j\le n-k}a_{ij}-\sum\limits_{i>n-k}a_{ij}\\ &=&2\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n-k}a_{ij}-2\sum\limits_{i=k+1}^n\sum\limits_{j=n-k+1}^na_{ij}\\ &\le &4k(n-k) \end{array}$

两式比较有 $n^2\le 4k(n-k)$ ，也即 $(n-2k)^2\le 0$ ，该式成立当且仅当 $n=2k$ ，故 $n$ 为奇数时无解，而当 $n$ 为偶数时，可以将矩阵斜对角线上放置若干 $n=2$ 时的 $2\cdot 2$ 方阵，其余的在斜对角线上面方的全部放 $1$ ，下方的全部放 $-1$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
int T,n;
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n%2==0)
        {
            printf("possible\n");
            for(int i=1;i<=n;i++)
                for(int j=1;j<=n;j++)
                {
                    int a;
                    if(i+j<=n)a=1;
                    else if(i+j==n+1)
                    {
                        if(i&1)a=0;
                        else a=1;
                    }
                    else a=-1;
                    printf("%d%c",a,j==n?'\n':' ');
                }
        }
        else printf("impossible\n");
    }
    return 0;
}