CodeForces 788 B.Weird journey（欧拉路径+组合数学）

Description

给出一个$n$个点$m$条边的无向图，无重边，可能有自环，但是一个点的自环至多一个，问经过$m-2$条边两次，剩余两条边一次的路径数，两条路径视为不同当且仅当其经过一次的边集不同

Input

第一行输入两个整数$n,m$分别表示点数和边数，之后输入$m$行每行两个整数$u_i,v_i$表示一条无向边$(1\le n,m\le 10^6)$

Output

输出满足条件的路径数

Sample Input

5 4
1 2
1 3
1 4
1 5

Sample Output

6

Solution

首先该图除去孤立点后应该连通，如果是所有边都经过两次，相当于给边复制一遍后找欧拉路径，由于复制后每个点的度均为偶数，故欧拉路径必然存在，故只需考虑删去两条边后欧拉路径是否还存在

1.如果删去的是两条不相交的非自环边，那么会产生四个度为奇数的点，不存在欧拉路径

2.如果删去的是两条相交的非自环边，那么会产生两个度为奇数的点，存在欧拉路径

3.如果删去的是两个自环边，那么所有点度依旧为偶数，存在欧拉路径

4.如果删去的是一条非自环边和一个自环边，那么会产生两个度为奇数的点，存在欧拉路径

综上，只需统计除去孤立点后图中自环数$res$和每个点的度$deg[i]$（自环不计度数），对于一条边$u\leftrightarrow v$，如果是自环，那么该自环配上任意一条其他边均可，方案数$m-1$，如果是非自环，那么该非自环边配上任意一个自环或者配上一条与自己相交的边均可，方案数$deg[u]-1+deg[v]-1+res$，注意这样以来每个方案会被算两边，故求出答案后除即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1000006;
int n,m,a[maxn],b[maxn],vis[maxn],fa[maxn],deg[maxn];
int find(int x)
{
    if(fa[x]==x)return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
void unite(int x,int y)
{
    x=find(x),y=find(y);
    if(x==y)return ;
    fa[x]=y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    int res=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        vis[a[i]]=vis[b[i]]=1;
        if(a[i]!=b[i])
        {
            deg[a[i]]++,deg[b[i]]++;
            unite(a[i],b[i]);
        }
        else res++;
    }
    int num=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(fa[i]==i&&vis[i])num++;
    if(num!=1)printf("0\n");
    else
    {
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(a[i]==b[i])ans+=m-1;
            else ans+=deg[a[i]]-1+deg[b[i]]-1+res; 
        printf("%I64d\n",ans/2);
    }
    return 0;
}