CodeForces 518 D.Ilya and Escalator（概率DP）

最新推荐文章于 2019-12-01 20:03:25 发布

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概率DP

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本文介绍了一种求解服务队列中特定时间内接受服务的人数期望值的算法。通过动态规划方法，定义状态转移方程，实现了高效计算。输入包括队列长度、单位时间内的服务概率和服务时间，输出为期望接受服务的人数。

Description

一个长度为 $n$ 的等候队列，每秒队首会有 $p$ 的概率前进到服务台，有 $1-p$ 的概率在原地不动，问 $t$ 秒后接受服务的人的期望人数

Input

三个数 $n,p,t(1\le n,t\le 2000,0\le p\le 1)$

Output

输出接受服务的期望人数，误差不超过 $10^{-6}$

Sample Input

1 0.50 1

Sample Output

0.5

Solution

以 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 秒有 $j$ 个人接受服务的概率，答案即为 $\sum\limits_{i=1}^{min(n,t)}dp[t][i]\cdot i$ ，考虑第 $i$ 个人秒队首的选择

1.前进， $dp[i][j]+=p\cdot dp[i-1][j-1],0<j\le n,dp[i][j]+=dp[i-1][j-1],j=n+1$

2.等待， $dp[i][j]+=(1-p)\cdot dp[i-1][j],0\le j<n,dp[i][j]+=dp[i-1][j],j=n$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=2005;
int n,t;
double p,dp[maxn][maxn];
int main()
{
    while(~scanf("%d%lf%d",&n,&p,&t))
    {
        double q=1.0-p;
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=t;i++)
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                dp[i][j]=(j==n?1.0:q)*dp[i-1][j];
                if(j)dp[i][j]+=(j-1==n?1.0:p)*dp[i-1][j-1];
            }
        double ans=0;
        for(int i=0;i<=min(t,n);i++)ans+=dp[t][i]*i;
        printf("%.10f\n",ans);
    }
    return 0;
}