CodeForces 383 E.Vowels（容斥原理+状压DP）

最新推荐文章于 2021-01-12 16:20:42 发布

v5zsq

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分类专栏： Code Forces 组合数学状压DP

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本文介绍了一种利用二进制表示元音字母集合的方法，并通过容斥原理计算给定单词中正确单词数量平方的异或和。具体地，文章详细解释了如何使用动态规划来高效解决此问题，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $n$ 个长度为 $3$ 的由 $'a'$ ~ $'z'$ 组成的单词，一个单词是正确的当且仅当其包含至少一个元音字母，这里的元音字母是 $'a'$ ~ $'x'$ 的一个子集，对于所有元音字母集合，求这 $n$ 个单词中正确单词的数量平方的异或和

Input

第一行一整数 $n$ 表示单词个数，之后输入 $n$ 个只由 $'a'$ ~ $'z'$ 组成的长度为 $3$ 的单词 $(1\le n \le 10^4)$

Output

输出结果

Sample Input

5
abc
aaa
ada
bcd
def

Sample Output

Solution

用 $24$ 位 $01$ 表示一个字母集合，第 $i$ 位是 $1$ 表示第 $i$ 个字母在该集合中，否则不在

对于一个固定的元音集合，由容斥原理有，正确单词数量 $=$ 包含一个元音的单词 $-$ 包含两个元音的单词 $+$ 包含三个元音的单词

令 $dp[i]$ 为存在非空子集状态为 $i$ 的单词个数（奇加偶减），对于一个单词，枚举其非空子集，得到这个子集字母对应的状态 $sta$ ，如果该子集元素个数为奇数，那么 $dp[sta]++$ ，否则 $dp[sta]--$

现在已经知道 $dp[i]$ ，对于一个元音集合 $sta$ ，正确单词数量为 $\sum\limits_{i\&sta=i}dp[i]$ ，对 $dp$ 数组做一遍高维前缀和即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1<<24;
int n,dp[maxn];
char s[5];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%s",s);
        for(int i=1;i<8;i++)
        {
            int num=0,sta=0;
            for(int j=0;j<3;j++)
                if((1<<j)&i)num++,sta|=(1<<(s[j]-'a'));
            if(num&1)dp[sta]++;
            else dp[sta]--; 
        }
    }
    int N=1<<24;
    for(int i=0;i<24;i++)
    {
        int t=N-1-(1<<i);
        for(int j=t;;j=(j-1)&t)
        {
            dp[j^(1<<i)]+=dp[j];
            if(!j)break;
        } 
    } 
    int ans=0;
    for(int i=0;i<N;i++)ans^=dp[i]*dp[i];
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}