CodeForces 10 C.Digital Root（数论）

Description

定义函数$d(x)$为$x$的数字根，即若$x\le 9$，则$d(x)=x$；否则$d(x)=d(s(x))$，其中$s(x)$为$x$的各位数之和

问存在多少三元组$(A,B,C)$满足$A,B,C\in[1,N]$，$d(C)=d(d(A)d(B))$但$C\neq AB$

Input

一个整数$N(1\le N\le 10^6)$

Output

输出满足条件的三元组$(A,B,C)$数量

Sample Input

4

Sample Output

2

Solution

首先，$d(x)=(x-1)\%9+1$，由此可以求出$[1,N]$中满足$d(x)=i$的$x$数量$num[i]$

然后，求出所有满足$d(C)=d(d(A)d(B))$的三元组数量，只需枚举$d(A)=i,d(B)=j$，那么对答案的贡献就是$num[i]*num[j]*num[d(i*j)]$

最后，求出不合法三元组从答案中减去，即满足$C=AB$的三元组，这个数量就等于$[1,N]$中每个数的因子数，进而，考虑$[1,N]$中以$i$为因子的数有$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$个，累加即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
int d(int x)
{
    return (x-1)%9+1;
}
int num(int n,int x)
{
    return n/9+(n%9>=x?1:0);
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=9;i++)
            for(int j=1;j<=9;j++)
                ans+=1ll*num(n,i)*num(n,j)*num(n,d(i*j));
        for(int i=1;i<=n;i++)ans-=n/i;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}