【动态规划】回文词

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本文深入探讨了如何运用动态规划算法来检测和构建回文词。通过实例解析，详细阐述了状态转移方程的建立过程，帮助读者理解动态规划在解决回文问题上的应用。

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From Zossin

回文词　国际信息学奥林匹克竞赛 (IOI) 竞赛原题


	描述 Description
		回文词是一种对称的字符串——也就是说，一个回文词，从左到右读和从右到左读得到的结果是一样的。任意给定一个字符串，通过插入若干字符，都可以变成一个回文词。你的任务是写一个程序，求出将给定字符串变成回文词所需插入的最少字符数。　　比如字符串“Ab3bd”，在插入两个字符后可以变成一个回文词（“dAb3bAd”或“Adb3bdA”）。然而，插入两个以下的字符无法使它变成一个回文词。


	输入格式 Input Format
		第一行包含一个整数N，表示给定字符串的长度，3<=N<=5000 　　第二行是一个长度为N的字符串，字符串由大小写字母和数字构成。


	输出格式 Output Format
		一个整数，表示需要插入的最少字符数。


	样例输入 Sample Input
		5 Ab3bd


	样例输出 Sample Output
		2


	时间限制 Time Limitation
		各个测试点1s


	来源 Source
		IOI 2000 by Zossin

用f[i,j]来表示将区间[i,j]里面的词变成回文串所需要的最小变化个数

显然此题可以由区间扩展而得来。

边界 f[i,i+1]:=0 //a[i]=a[i+1]

f[i,i]:=0;

转移方程 f[i,j]:= f[i+1,j-1] //a[i]=a[j]

min( f[i+1,j], f[i,j-1] )+1

最后输出 f[1,n]

由于转移的顺序难以确定，我又写了个记忆化搜索。

var n,i,j:longint;
    a:array[1..5000]of char;
    f:array[0..5000,0..5000]of longint;

function min(a,b:longint):longint;
begin
  if a>b then exit(b) else exit(a);
end;


function dp(i,j:longint):longint;
begin
    if f[i,j]<>-1 then exit(f[i,j]);
    if (a[i]=a[j])and(i+1=j) then
    begin
        f[i,j]:=0;
        exit(f[i,j]);
    end;
    if a[i]=a[j] then
    begin
       f[i,j]:=dp(i+1,j-1);
       exit(f[i,j]);
    end;
    
    if a[i]<>a[j] then
    begin
      f[i,j]:=min(dp(i,j-1),dp(i+1,j))+1;
      exit(f[i,j]);
    end;
end;

begin
    fillchar(f,sizeof(f),$7f);
    readln(n);
    for i:=0 to n-1 do for j:=i to n do f[i,j]:=-1;
    for i:=1 to n do read(a[i]);
    for i:=1 to n do f[i,i]:=0;
    writeln(dp(1,n));
    readln;readln;
end.

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