[BZOJ1242]抢修道路

题目描述

    FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。

    整条路被分成了N段，N个整数A_1, ... , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列B_1, ... , B_N，作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为：

 |A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N|

    请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出不会超过2^31-1。

输入

输入文件的第一行为一个整数N，以下n行每行一个整数Ai，表示路面的高度。

输出

输出文件仅有一个正整数，表示如果把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费

样例输入

7

1

3

2

4

5

3

9

样例输出

3

提示

将第一个高度为3的路段的高度减少为2，将第二个高度为3的路段的高度增加到5，总花费为|2-3|+|5-3| = 3，并且各路段的高度为一个不下降序列1,2,2,4,5,5,9。

题解：

修改高度时, 一定是修改成原数组中的数字最优。
因为无论数字加减多少, 总是当它和旁边的数字一样大时有最优解, 
这样在满足单调性（两数相等也算）的同时使改变的数值最小。
前面修改过的数字在后面有可能会继续修改, 所以它可能取到原数组中的任何一个数字。

定义dp[i][j]: 第i个数字, 换为有序序列的第j个数字, 的最小花费
不降序列: dp[i][j]=min{ dp[i-1][k] }+Abs( h[i]-uph[j] ) ( 1<=i<=n, i<=j<=n, i<=k<=j )
不升序列: dp[i][j]=min{ dp[i-1][k] }+Abs( h[i]-dnh[j] ) ( 1<=i<=n, i<=j<=n, i<=k<=j )

这样复杂度接近n^3, 显然要超时, 
可以发现dp[i][j]的值只跟min{ dp[i-1][k] }有关, 可以用dp[i][j]记录dp[i][1]~dp[i][j]的最小值, 直接拿dp[i−1][j]来用。

dp[i][j]=min( dp[i][j], dp[i-1][j]+Abs( h[i]-dnh[j] ) )

dp[i][j]=min( dp[i][j], dp[i][j-1] );

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=2010;
int n, h[N], uph[N], downh[N];
int dp[N][N];
 
int Abs( int x ) { return x<0 ? (-x) : x ; }

int main() {
    scanf( "%d", &n );
    for( int i=1; i<=n; i++ ) scanf( "%d", &h[i] ), uph[i]=h[i];
    sort( uph+1, uph+n+1 );
    for( int i=1; i<=n; i++ ) downh[n-i+1]=uph[i];
     
    for( int i=1; i<=n; i++ )
        for( int j=1; j<=n; j++ ) {
            dp[i][j]=INF;
            dp[i][j]=min( dp[i][j], dp[i-1][j]+Abs( h[i]-uph[j] ) );
            if( j!=1 ) dp[i][j]=min( dp[i][j], dp[i][j-1] );
        }
    int ans=dp[n][n];
    memset( dp, 0, sizeof dp );
    for( int i=1; i<=n; i++ )
        for( int j=1; j<=n; j++ ) {
            dp[i][j]=INF;
            dp[i][j]=min( dp[i][j], dp[i-1][j]+Abs( h[i]-downh[j] ) );
            if( j!=1 ) dp[i][j]=min( dp[i][j], dp[i][j-1] );
        }
     
    printf( "%d\n", min( ans, dp[n][n] ) );
    return 0;
}