bzoj 1592 [Usaco2008 Feb]Making the Grade 路面修整

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本文介绍了一种解决农场道路修复问题的算法，目标是最小化调整道路高度所需的总成本，确保道路高度呈单调上升或下降趋势。通过排序和动态规划方法实现了高效求解。

Description

FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。整条路被分成了N段，N个整数 $A_1, ... , A_N$ (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列 $B_1, ... , B_N$ ，作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为： $|A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N|$ 请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出不会超过2^31-1。

Input
* 第1行: 输入1个整数：N * 第2..N+1行: 第i+1行为1个整数：A_i
Output

第1行: 输出1个正整数，表示FJ把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费

Sample Input
7
1
3
2
4
5
3
9
Sample Output
3
HINT

FJ将第一个高度为3的路段的高度减少为2，将第二个高度为3的路段的高度增加到5，总花费为|2-3|+|5-3| = 3，并且各路段的高度为一个不下降序列 1,2,2,4,5,5,9。

可以发现一个性质：要改的话肯定改成数组里本来就有的数，那么我们先对原数组进行排序，然后再dp
$f[i][j]表示前i个数，第i个数改为b数组中的第j个数的最小花费$
我们可得朴素dp如下：
$for(i=1;i<=n;i++)$
$for(j=1;j<=n;j++)$
{
$f[i][j]=1e15;$
$for(k=1;k<=j;k++)$
$f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+abs(a[i]-b[j]));$
}

这样复杂度接近 $n$ ${3}$ ,显然要超时，可以发现 $f[i][j]$ 的值只跟 $min(f[i-1][k])有关$ ，我们可以用 $f[i][j]$ 来表示 $f[i][1]-f[i][j]$ 的最小值，然后直接拿 $f[i-1][j]$ 来用。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll ans,f[2005][2005];
int n;
int a[2005],b[2005];
bool cmp(int x,int y)
{
    return x>y;
}
int abs(int x)
{
    if(x<0) return -x;else return x;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i];
    }
    sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1e15;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=1;j<=n;j++) 
    {
        f[i][j]=1e15;
        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]));
        f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i][j]);
    }
    ans=f[n][n];
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1e15;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=1;j<=n;j++) 
    {
        f[i][j]=1e15;
        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]));
        f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i][j]);
    }
    ans=min(ans,f[n][n]);
    cout<<ans;
    return 0;
}