数据结构与算法笔记：复杂度

一、算法复杂度

• 什么是算法复杂度？

  算法复杂度一般分为2个维度：时间复杂度和空间复杂度；针对空间复杂度的问题，现在的我们很少去关心了，因为磁盘内存等变得越来越廉价，我们以后说的复杂度一般只针对 时间复杂度

二、如何计算复杂度

估算如下计算次数

• 第 1 题

  # 只执行了 1 次 , 时间复杂度为 O(1)
  def func():
      a = 1
  

• 第 2 题

  # 执行了 10 次 , 有一层循环，时间复杂度为O(n) 
  def func():
  	for i in range(10):
  		a = 1	
  

• 第 3 题

  # 执行了 10*10 = 100 次 , 有两层循环，时间复杂度为O(n^2)
  def func():
  	for i in range(10):
  		for j in range(10):
  			a = 1
  

• 第 4 题

  # 执行了 10+ 9 + 8 + ... + 1 = 55 次
  def func():
  	for i in range(10):
  		for j in range(i, 10):
  			a = 1
  

• 第 5 题

  '''
  用变量代替执行次数, 执行了 n+ (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n * ((n+1) / 2)  次
  化简后后：1/2 * n^2 + 1/2 * n
  时间复杂度为：O(1/2 * n^2 + 1/2 * n)
  由于我们一般只保留最高次的项，并且不保留系数，时间复杂度为：O(n^2)
  '''
  def func():
  	n = 10
  	for i in range(n):
  		for j in range(i, n):
  			a = 1
  

• 第 6 题

  '''
  用变量代替执行次数, 执行了 2*(n+ (n-1) + (n-2) + ... + 1) = n * (n+1) 次
  化简后后：n^2 + n
  时间复杂度为：O(n^2 + n)
  由于我们一般只保留最高次的项，并且不保留系数，时间复杂度为：O(n^2)
  '''
  def func():
  	n = 10
  	for i in range(n):
  		for j in range(i, n):
  			a = 1
  			b = 2
  

• 7.比较5、6 两者时间复杂度相同，但是两者速度不同，不同之处是系数不同, 在n很大的情况下, 系数和非最高次项都是可以省略的

• 8.如果程序跑得太慢，有可能是一下两方面的原因：
  ①、时间复杂度过大 ②、常数项过大

算法复杂度常数

1. 两个算法的时间复杂度均为O(n^{2)，但也要区分跑几个n}2, 速度是完全不一样的
2. 系数和非最高此项均可视为常数
3. 复杂度与速度没有必然联系，常数项在中间起了很大作用
4. 如果n值越大，常数项的作用越小, 将n看成非常大，常数项便可以被忽略不计

三、常见的时间复杂度示例

1. 时间复杂度为: O(1) 也就是常数复杂度

   def func():
   	a = 1
   

2. 空间复杂度为: O(N) 也就是线性复杂度 (通常特征是一层循环)

   def func():
   	n = 10
   	for i in range(n):
   		a = 1
   
   

3. 多项式复杂度O(N^2) (通常特征是双层循环)

   def func():
   	n = 10
   	for i in range(n):
   		for j in range(i, n):
   			a = 1
   

4. 指数复杂度O(2^n)

   def func(n):
   	if n <= 1: return n
   	return func(n-1) + func(n-1)
   

5. 对数复杂度O(log(N))

   # 此项时间复杂度为以2为底的log(N) 即 log2(N)
   def func(n):
   	if n <= 1: return n
   	return func(n // 2) + 1
   

6. 渐进复杂度O(N)

   def func(n):
   	if n <= 1: return
   	mid = n // 2
   	for i in range(mid+1, n):
   		a = 1
   	func(mid)
   

   相关数学计算公式如下：
   f(n) = f(n/2) + n/2
   f(n) = f(n/4) + n/4 + n/2
   f(n) = f(n/8) + n/8 + n/4 + n/2
   …

   推导出：
   f(n) = n/2 + n/4 + n/8 + … <= n