超级丑数
- https://leetcode.cn/problems/super-ugly-number/
描述
- 超级丑数 是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。
- 给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个 超级丑数 。
- 题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。
示例 1
输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出：32
解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。
示例 2
输入：n = 1, primes = [2,3,5]
输出：1
解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。
提示
- 1 <= n <= 10510^5105
- 1 <= primes.length <= 100
- 2 <= primes[i] <= 1000
- 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
- primes 中的所有值都 互不相同 ，且按 递增顺序 排列
Typescript 版算法实现
- 首先要了解下质数
- 又称素数，有无限个
- 质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数
- 再看下质因数
- 是一个数的约数，并且是质数
- 再次要了解丑数
- 只包含因子2,3,5的正整数被称为丑数，比如4,10,12都是丑数，而7,23,111则不是丑数，另外1也是丑数
- 超级丑数
- 和丑数不是一回事
- 是指所有质因数都是长度为k的质数列表primes中的正整数
1 ）将问题分而治之
class Ugly {
n: number = 0;
primes: number[] = [];
constructor (n: number, primes: number[]) {
this.n = n;
this.primes = primes;
}
// 获取第n个超级丑数，本质是一个查询操作
getNthUg() {
const res = [1]; // 超级丑数列表
let i = 2; // 从2开始找
const { primes, n } = this;
while (res.length < n) {
const arr = Ugly.getPrimes(i); // 获取当前i的所有质因数列表
const l = arr.length; // 质因数列表长度的
let j = 0; // 指针往上数
// 遍历当前i的所有质因数找到和primes列表中匹配的质因数, 有一个不匹配都算失败
for (; j < l; j++) {
// 匹配不到则退出
if (!primes.find(item => item === arr[j])) break;
}
// 这时候上面的for循环遍历完成, 而且当前i的所有质因数都匹配成功, 就可以进行下一步的操作
if (j === l) {
(l === 0) && primes.find((item) => item === i) && res.push(i); // 当前没有质因数(上面for不会执行)，但是当前的i在给定列表中，存储i(满足超级丑数)
(l !== 0) && res.push(i); // 当前i存在质因数列表时，存储 i(满足超级丑数)
}
i++; // i 递增
}
return res[n - 1]; // 获取第n个
}
// 计算指定正整数n的质因数
static getPrimes (n) {
const prime = (n) => {
const arr = []; // 存储所有的质因数
for (let i = 2; i <= n / 2; i++) {
if (n % i === 0 && !prime(i).length) arr.push(i); // 这里有一个递归找质因数
}
return arr;
}
return prime(n);
}
}
function nthSuperUglyNumber(n: number, primes: number[]): number {
const ugly = new Ugly(n, primes);
return ugly.getNthUg();
};
- 思路：
- 给定任意整数，算出其质因数
- 质因数是否在指定质因数范围内
- 是否达到指定个数 n
- 干扰点：丑数和超级丑数不是一回事
- 正整数的质因数的算法
- 如果这个正整数是n, 它的因数(约数)的范围一定在 [2, n/2]
- 当然这个 n/2 可能不是整数，但是范围就在这儿
- 先判断是否是因数: n能被i整除
- 质因数：不仅要满足是因数，而且都是质数(除了1和它本身没有其他因数)
- 质数如何解决呢，这里就用到了递归，如果整数后找不到其他因数，则本身就是质数
- 这里 !prime(i).length 是判断质数的关键
- 还要注意 getNthUg 方法中的查询操作，这是一个循规蹈矩的做法，但是性能很低
- 性能瓶颈在，查找两个数组的方法
- 目前在 第 77 个 case 的时候, 提示：超出时间限制
- 我们需要提升查找效率
2 ）使用堆结构来提升查找性能，优化版
class Ugly {
n: number = 0;
primes: MaxHeap;
constructor (n: number, primes: number[]) {
this.n = n;
this.primes = new MaxHeap(primes);
}
// 获取第n个超级丑数，本质是一个查询操作
getNthUg() {
const res = [1];
let i = 2; // 从2开始找
const { primes, n } = this;
while (res.length < n) {
const arr = Ugly.getPrimes(i); // 获取当前i的所有质因数列表
const l = arr.length; // 质因数列表长度的
let j = 0; // 指针往上数
// 遍历当前i的所有质因数找到和primes列表中匹配的质因数, 有一个不匹配都算失败
for (; j < l; j++) {
// 匹配不到则退出
if (!primes.find(arr[j])) break;
}
// 这时候上面的for循环遍历完成, 而且当前i的所有质因数都匹配成功, 就可以进行下一步的操作
if (j === l) {
(l === 0) && primes.find(i) && res.push(i); // 当前没有质因数(上面for不会执行)，但是当前的i在给定列表中，存储i(满足超级丑数)
(l !== 0) && res.push(i); // 当前i存在质因数列表时，存储 i(满足超级丑数)
}
i++; // i 递增
}
return res[n - 1]; // 获取第n个
}
// 计算指定正整数n的质因数
static getPrimes (n) {
const prime = (n) => {
const arr = []; // 存储所有的质因数
for (let i = 2; i <= n / 2; i++) {
if (n % i === 0 && !prime(i).length) arr.push(i); // 这里有一个递归找质因数
}
return arr;
}
return prime(n);
}
}
class MaxHeap {
heap: number[] = [];
max: number = 0;
constructor (arr) {
this.heap = arr;
this.max = arr.length;
this.sort();
}
sort () {
const iArr = this.heap;
const n = iArr.length;
if (n <= 1) return iArr;
for (let i = Math.floor(n / 2); i >= 0; i--) {
MaxHeap.maxHeapify(iArr, i, n);
}
return iArr;
}
// 交换两个元素
static swap (arr, i, j) {
if (i === j) return;
[arr[i], arr[j]] = [arr[j], arr[i]];
}
// 构建最大堆的过程
static maxHeapify (Arr, i, size) {
// 左节点（索引）
const l = i * 2 + 1;
// 右节点
const r = i * 2 + 2;
let largest = i;
// 父节点i和左节点l做比较取最大
if (l <= size && Arr[l] > Arr[largest]) largest = l;
// 右节点和最大值比较
if (r <= size && Arr[r] > Arr[largest]) largest = r;
if (largest !== i) {
MaxHeap.swap(Arr, i, largest)
MaxHeap.maxHeapify(Arr, largest, size)
}
}
find (val, i = 0) {
const arr = this.heap;
if (val > arr[i] || i > this.max) return false;
if (val === arr[i]) return val;
return this.find(val, i * 2 + 1) || this.find(val, i * 2 + 2);
}
}
function nthSuperUglyNumber(n: number, primes: number[]): number {
const ugly = new Ugly(n, primes);
return ugly.getNthUg();
};
- 使用堆结构，取代普通数组结构，让查找效率提升 O(n) => O(logn)
- 但是这里仍有大量递归运算，消耗太多性能
- 同样，在第77个case时出现了提示：超出时间限制
3 ）使用动态规划
function nthSuperUglyNumber (n: number, primes: number[]) {
const dp = new Array(n + 1).fill(0);
const m = primes.length;
const pointers = new Array(m).fill(0);
const nums = new Array(m).fill(1);
for (let i = 1; i <= n; i++) {
let minNum = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
for (let j = 0; j < m; j++) {
minNum = Math.min(minNum, nums[j]);
}
dp[i] = minNum;
for (let j = 0; j < m; j++) {
if (nums[j] == minNum) {
pointers[j]++;
nums[j] = dp[pointers[j]] * primes[j];
}
}
}
return dp[n];
};
- 这是官方做法, 动态规划解决了递归的问题，由递归变成了递推
- 时间复杂度 O(nm) ≈ O(n2n^2n2)
Python3 版算法实现
1 ) 方案1: 动态规划
class Solution:
def nthSuperUglyNumber(self, n: int, primes: list) -> int:
dp = [0] * (n + 1)
m = len(primes)
pointers = [0] * m
nums = [1] * m
for i in range(1, n + 1):
min_num = float('inf')
for j in range(m):
min_num = min(min_num, nums[j])
dp[i] = min_num
for j in range(m):
if nums[j] == min_num:
pointers[j] += 1
nums[j] = dp[pointers[j]] * primes[j]
return dp[n]
Golang 版算法实现
1 ) 方案1：动态规划
func nthSuperUglyNumber(n int, primes []int) int {
dp := make([]int, n+1)
m := len(primes)
pointers := make([]int, m)
nums := make([]int, m)
for i := 0; i < m; i++ {
nums[i] = 1
}
for i := 1; i <= n; i++ {
minNum := math.MaxInt64
for j := 0; j < m; j++ {
if nums[j] < minNum {
minNum = nums[j]
}
}
dp[i] = minNum
for j := 0; j < m; j++ {
if nums[j] == minNum {
pointers[j]++
nums[j] = dp[pointers[j]] * primes[j]
}
}
}
return dp[n]
}
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