浅谈最小（代价）生成树（普利姆算法和克鲁斯卡尔算法）

最新推荐文章于 2024-12-07 18:38:12 发布

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#最小生成树 #普利姆算法 #克鲁斯卡尔算法

本文详细解析了普利姆算法和克鲁斯卡尔算法，两种用于寻找无向图最小生成树的算法。普利姆算法适用于稠密图，通过不断选择与现有树相连的最小权重边来构建生成树。而克鲁斯卡尔算法适用于稀疏图，通过按边权重排序并逐步加入不形成环的边来构建生成树。文章还对比了两种算法的时间复杂度和适用场景。

一、普利姆算法

1、算法思想

       从图中任选一个顶点，把它当作一棵树，然后从与这棵树相接的边中选取一条权值最小的边，并将这条边及其所连接的顶点并入这棵树中，此刻就得到了一棵有三个顶点的树。然后从与这棵树相接的边中任选一条权值最小的边，将这条边及其所连接的顶点并入这棵树中，依次类推，直到图中所有的顶点都被并入树中为止，此时所得的树就是最小生成树。
       例如，图 1-1a所示的带权无向图采用普利姆算法求解最小生成树的过程如
图 1-1b~1-1e所示，以顶点0为起点，生成树过程如下：
       1）如图1-1a所示，与顶点0相接的三条边的权值分别为5、1、2，最小边权值为1；
       2）如图1-1b所示，选择权值为1的边，此时候选边的权值分别为5、3、2、6和2，最小边权值为2；
       3）如图1-1c所示，选择权值为2的边，此时候选边的权值分别为5、3、2和3，最小边权值为2；
       4）如图1-1d所示，选择权值为2的边，此时候选边的权值分别为5、3和4，最小边权值为3；
       5）如图1-1e所示，选择权值为3的边，此时所有的顶点都已并入生成树中，最小生成树求解过程完毕。