最小生成树（最小代价树）

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值

之和）也可能不同。设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成

树，则T称为G的最小生成树（Minimum-Spanning-Tree,MST)。

• 最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的
• 最小生成树的边数=顶点数-1。砍掉一条则不连通，增加一条边则会出现回路
• 如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身
• 只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

Prim算法（普利姆）

从某一个顶点开始构建生成树；

每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。

时间复杂度：O(|𝑉|2)——适合用于边稠密图

Prim算法思想：

从𝑉0开始，总共需要n-1轮处理

每一轮处理：循环遍历所有结点，找到lowCast最低的，且还没加入树的顶点

再次循环遍历，更新还没加入各个顶点的lowCast值

每一轮时间复杂度：O(2n)

总时间复杂度：O(𝑛2)，即0(|𝑉|2)

Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选）

直到所有结点都连通

时间复杂度：O(|E|log2|𝐸|)——适合用于边稀疏图

Kruskal算法思想：

初始：将各条边按权值排序

共执行|E|轮，每轮判断两个顶点是否属于同一集合，不属于则连接起来，需要O(log2|E|)

总时间复杂度：O(|E|log2|E|)