递归解决汉诺塔问题

前言

先来看两个有趣的故事

• 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在给小和尚讲故事，故事讲的是从前有座山，山上有座庙。。。
• • 问：GNU全称是什么？
  • 答：GNU is Not UNIX
  • 问：第一个单词GNU的全称是什么？
  • 答：GNU is Not UNIX
  • 问：第一个单词GNU的全称是什么？
  • 答：GNU is Not UNIX
  • 。。。

类似于上述这种使用自己来定义自己的结构，称之为递归。

递归思想很有意思，在很多方面都有实际的用途。在计算机编程中，对于一些特定的问题，常规方法往往会显得很繁琐，抓不住问题的本质，这种时候采用递归的思想编程，往往能够写出很优雅的代码。

汉诺塔问题

“汉诺塔”是由数学家爱德华 · 卢卡斯于1883年发明的游戏，爱德华当初用了一个神话来描述这个问题

传说越南河内某间寺院有三根银棒，上串 64 个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言，以上述规则移动这些盘子；预言说当这些盘子移动完毕，世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题（Tower of Brahma puzzle）。

—— 维基百科

这个问题被数学抽象描述就是

• 问题：有3根细柱子（A、B、C），其中A柱子上有64个圆盘，64个圆盘按照从上到下由小到大的次序排列。求一共需要移动多少次才能将A柱子上的64个圆盘全部移动到B柱子上？
• 移动规则（移动前、移动中、移动后，都必须遵循）
  
  • 一次只能移动柱子最上端的一个圆盘
  • 小圆盘上面不能放大圆盘

对于64个圆盘问题，太复杂太庞大了。可以先从最小的情况开始考虑

一层汉诺塔

算法图解如下

规律：

• 将1个圆盘，从A柱子移动到B柱子

记作：$A \to B$

两层汉诺塔

算法图解如下

规律：

• 将2-1个圆盘，从A柱子移动到C柱子
• 将第2个圆盘，从A柱子移动到B柱子
• 将2-1个圆盘，从C柱子移动到B柱子

记作：

• $A \to C$
• $A \to B$
• $C \to B$

三层汉诺塔

算法图解如下

规律

• 将3-1个圆盘，从A柱子移动到C柱子（第1次~第3次）
• 将第3个圆盘，从A柱子移动到B柱子（第4次）
• 将3-1个圆盘，从C柱子移动到B柱子（第5次~第7次）

记作：

• $A \to B，A \to C，B \to C$
• $A \to B$
• $C \to A，C \to B，A \to B$

规律一

由于第四层汉诺塔整个算法图解过程已经很长了，所以这里就不列举了。不过，从前面三层汉诺塔图解算法中，我们足以发现了n层汉诺塔移动的一般性规律

• 将n-1个圆盘，从A柱子移动到C柱子
• 将第n个圆盘，从A柱子移动到B柱子
• 将n-1个圆盘，从C柱子移动到B柱子

我们将上述三个步骤，调换一下顺序

• 将n-1个圆盘，从A柱子移动到C柱子
• 将n-1个圆盘，从C柱子移动到B柱子
• 将第n个圆盘，从A柱子移动到B柱子

调换顺序之后的发现，其实第一步和第二步合起来，便是将n-1个圆盘从A柱子移动到B柱子上 。

因此，算法可以进一步简化为

• 将n-1个圆盘，从A柱子移动到B柱子
• 将第n个圆盘，从A柱子移动到B柱子

将n-1个圆盘从A移动到B的过程，就是将n-2个圆盘从A移动到B，与将第n-1个圆盘从A移动到B；将n-2个圆盘从A移动到B的过程，就是将n-3个圆盘从A移动到B，与将第n-2个圆盘从A移动到B；……；将1个圆盘从A移动到B的过程，就是将第1-1个圆盘从A移动到B，与将第1个圆盘从A移动到B。

很明显，这样的一个过程，就是递归。在整个递归过程中，无论从第几层开始，最后会终止于一个确定的步骤——将1个圆盘从A移动到B，而每一层最关键的一个确定步骤就是——将第n个圆盘从A移动到B。因此整个递归过程其实都是在做一件事情——将1个圆盘从A移动到B ！

规律二

由规律一，我们可以得知，整个递归过程中都是在重复做一件事情——将1个圆盘从A移动到B。但事实上，一旦圆盘数目超过1个时，就需要一个借助3根柱子中的一根作为中转站，通过折中的方法实现将圆盘从A的移动到B。

• 将n-1个圆盘，从A柱子移动到C柱子
• 将第n个圆盘，从A柱子移动到B柱子
• 将n-1个圆盘，从C柱子移动到B柱子

由上述总结规律可知，这样的一个过程，起到中转站的作用的柱子似乎就是C柱子。

但是事实上绝不是这样，很多情况下，起到中转站作用的柱子不是绝对的！

分析一个最具代表的模型，三层汉诺塔的表达式

• A→B，