求最大公约数算法

前言

之前写过一篇关于求素数算法的博文，其中的算法主要是判断出某个数是不是一个素数。本文就来探讨一下有关素数算法的另一个问题——求最大公约数。本文的内容，来自于笔者最近看的两本书里面提及的算法，一本是《计算机是怎样跑起来的》，还有一本是《什么是数学 · 对思想和方法的基本研究》，下面就用代码来实现一遍书中的算法。

更相减损法

更相减损法出自中国古代的数学专著，其原文是

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

—— 《九章算术》

这段文言文翻译成白话文，包含了下面四个算法步骤

1. 如果两个数都是偶数，那就先将它们除以二

2. 若两个数都是奇数，那么就比较两者大小，用大的数字作被减数，小的数字作减数

3. 将减法得出的结果与减数作比较，重复上面的步骤

4. 直到最后两个数相等，那么最大公约数就是最后相等的那个数，或最后相等的数乘以每次约去的2最后的乘积

C语言实现

int gcd(int x, int y)
{
   
    // 任意两个自然数都能同时被1整除
	int gcdNum = 1;
	while (x != y) {
   
        // 如果两个数同时能被2整除，那么都先除以2
		if (x % 2 == 0 && y % 2 == 0) {
   
			x /= 2;
			y /= 2;
			gcdNum *= 2;
		}
		else {
   
			if (x > y)
				x -= y;
			else
				y -= x;
		}
	}
	return gcdNum * x;
}

上述的代码，其实并没有什么优化之处。只要稍作思考就知道，由奇数 - 偶数 = 奇数、偶数 - 奇数 = 奇数这一简单算术规律可知，一旦 x 与 y 其中一个不是偶数了，那么接下来的出现的所有数对都是一奇一偶的形式了，所以也就没有必要每次都去判断 x 和 y 是否同时满足偶数这一条件。

再加上更相减损法中，执行最多的操作是步骤2的减法操作，计算机对于这类计算可以计算地非常快，所以算法可以直接使用一个步骤——减法实现

Python代码实现

def gcd(x, y):
	while x != y:
		if x > y:
			x -= y
		else:
			y -= x
	else:
		return x

欧几里得辗转相除法

两千多年前，欧几里得在其著作《几何原本》中提出了辗转相除法，当时没有那么现代化的数学语言描述，所以他当时用的是几何线段来演示这个算法。

欧几里得的做法是：取两根不同长度的线段，视作两个不同的整数，不断地用其中较短的那条线段，去尽可能地截取较长的那条线段，直到较长的线段被截取成比原来较短线段更短，然后用新的较短的线段去尽可能截取较长的线段，如此重复这一过程，直到较短的线段正好将较长线段截取成整数倍，此时较短的线段长度，就是两者的最大公约数了。

我在维基百科上找到了一张描述这一过程的动态图，很生动直观地体现了这一过程

关于欧几里得辗转相除法的代数证明如下

• 前提一：如果 $a$ 是任一整数，而 $b$ 是任一大于 $0$ 的整数，那么总能找到一个整数 $q$ ，使得等式：$a=bq+r$ 恒成立，其中的整数 $r$ 满足： $0\le r<b$
• 前提二：如果整数