二分查找

二分查找

（1）策略：
每经过至多两次比较，或者命中，或者将问题规模缩减一半
$T(n)=O(1)+T(n/2)$
解得$T(n)=O(logn)$

（2）实现：

int binSearch(int value,int lo,int hi){
    int mid;
    while(lo<hi){
       mid = (lo+hi)>>1;
       if(value<Array[mid])hi = mid;
       else if(value>Array[mid])lo= mid+1;
       else return mid;
    }
    return lo;
}

(3)比较操作次数：

加入对比较次数的考量，二分查找的平均性能为
$O(1.5logn)$

（4）二分查找的不足：
二分查找转向左右分支的比较次数不相等，向左侧只需要一次比较，而向右侧需要两次比较，而递归深度却相同。
（5）针对比较次数做针对性改进：
1、Fibonacci查找
使递归深度不平衡，对转向成本的不平衡进行补偿，进而优化算法效率。
不再均衡划分向量，而是使左侧更长，右侧更短。若设整体长度是fib(k)-1,则在fib(k-1)-1处划分。从而左侧长度为fib(k-1)，右侧长度为fib(k-2)-1，称作Fibonacci查找，在查找次数上是最优的。
2、直接解决：
将三分支转化为了两分支，缺点是最好情况下性能倒退，但整体性能更稳定

int binSearch_TwoBranch(int value,int lo,int hi){
    int mid;
    while(hi-lo > 1) {
       mid = (lo+hi)>>1;
       if(value<Array[mid])hi = mid;
       else if(value>=Array[mid])lo= mid;
    }
    return Array[lo]==value?lo:-1;
}

（6）满足语义要求的实现

int binSearch(int value,int lo,int hi){
    int mid;
    while(hi-lo > 1) {
       mid = (lo+hi)>>1;
       value<Array[mid]？hi = mid:lo=mid+1;
    }
    return --lo;
}