数学常数e的含义

数学常数e的含义

作者： 阮一峰

日期： 2011年7月 9日

1.

e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。

它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？

维基百科说：

"e是自然对数的底数。"

但是，你去看"自然对数"，得到的解释却是：

"自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。"

这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是很奇怪的事情吗？

2.

昨天我读到一篇好文章，它把这个问题解释得非常清楚，而且一看就懂。

它说，什么是e？简单说，e就是增长的极限。

下面就是它的解释。

3.

假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。

那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：

　　

上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样：

　　

其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。

4.

我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。

因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。

　　

当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。

如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。

　　

那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。

很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？

　　

当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。

　　

因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

5.

有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？

　　

回答就是271.828元，等于100个e。

但是，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利息率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢？

　　

为了便于思考，我们取n等于50：

　　

我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000所得到的值非常接近e：

　　

因此，5%利息率就相当于e的20分之一次方：

　　

20分之一正好等于5%的利率率，所以我们可以把公式改写成：

　　

上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算，前提是它必须是持续不断的复合式增长。

6.

再考虑时间因素，如果把钱在银行里存2年，可以得到多少钱？

　　

在时间t的情况下，通用公式就是：

　　

上式就是计算增长量的万能公式，可以适用于任何时间、任何增长率。

7.

回到上面的例子，如果银行的利息率是5%的复利，请问100元存款翻倍需要多少时间？

　　

计算结果是13.86年：

　　

上式最后一个等号，表明用72除以增长率，可以得到翻倍的大致时间，这就是72法则的来源。

（完）