每日算法（三十八）-java分治算法（归并排序，快速排序）

每日算法（三十八）-java分治算法

一、基本概念
　　在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
　　任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略
　　分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
　　分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
　　如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法使用场景
　　分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
　　1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
　　2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
　　3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
　　4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
　　第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
　　第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
　　第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
　　第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、分治法得基本步骤
　　分治法在每一层递归上都有三个步骤：
　　step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
　　step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
　　step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
五、可使用分治法求解的一些经典问题
　　（1）二分搜索
　　（2）大整数乘法
　　（3）Strassen矩阵乘法
　　（4）棋盘覆盖
　　（5）合并排序
　　（6）快速排序
　　（7）线性时间选择
　　（8）最接近点对问题
　　（9）循环赛日程表
　　（10）汉诺塔

练习一： 归并排序

归并排序将待排序的元素序列分成两个长度相等的子序列，为每一个子序列排序，然后再将他们合并成一个子序列。合并两个子序列的过程也就是两路归并。
归并排序是一种稳定的排序算法，归并排序的主要问题在于它需要一个与待排序数组一样大的辅助数组空间。由于归并排序每次划分时两个子序列的长度基本一样，所以归并排序最好、最差和平均时间复杂度都是nlog2n
代码如下

public class Merge {
public void mergeSort(int arr[],int left,int right){
	if(left<right){
		int mid=(left+right)/2;
		mergeSort(arr, left, mid);    //对左边序列进行归并
		mergeSort(arr, mid+1, right); //对右边序列进行归并
		//合并两个序列
		merge(arr,left,mid,right);
	}
}
public  void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
	int[] temp=new int[right-left+1];
	int i=left;
	int j=mid+1;
	int k=0;
	while(i<=mid&&j<=right){
		//依次比较两个序列从第一位开始，较小的放入临时数组
		if(arr[i]<arr[j]){
			temp[k++]=arr[i++];
		}else{
			temp[k++]=arr[j++];
		}
	}
	//把剩下的依次放入临时数组
	while(i<=mid){
		temp[k++]=arr[i++];
	}
	while(j<=right){
		temp[k++]=arr[j++];
	}
	//将临时数组的值依次放入原数组
	for(int x=0;x<temp.length;x++){
		arr[x+left]=temp[x];
	}
}
public static void main(String[] args) {
	int arr[]={7,2,6,4,8,3,5};
	Merge me=new Merge();
	me.mergeSort(arr, 0, arr.length-1);
	for(int i=0;i<arr.length;i++){
		System.out.print(arr[i]+" ");
	}
}
}

练习二：快速排序
首先在数组中选择一个基准点，然后分别从数组的两端扫描数组，设两个指示标志（left指向起始位置，right指向末尾)，首先从后半部分开始，如果发现有元素比该基准点的值小，就交换left和right位置的值，然后从前半部分开始扫秒，发现有元素大于基准点的值，就交换left和right位置的值，如此往复循环，直到left=right,然后把基准点的值放到hi这个位置。一次排序就完成了。以后采用递归的方式分别对前半部分和后半部分排序，当前半部分和后半部分均有序时该数组就自然有序了。
代码如下：

public class QuickSort {
public void sort(int arr[],int left,int right){
	if(left<right){
		int key=getStandard(arr,left,right); //选择基准数
		sort(arr, left, key-1);          //将基准数的左边和右边进行排序
		sort(arr, key+1, right);
	}
}

private int getStandard(int[] arr, int left, int right) {
	int data=arr[left];
	while(left<right){
	//从右往左找，找到第一个比基准数小的则把他放入最左边的基准数（等于交换位置）
	while(data<=arr[right]&&left<right){
		right--;
	}
	arr[left]=arr[right];
	//从左往右找，找到第一个比基准数大的放入右边之前找到的那个位置
	while(data>=arr[left]&&left<right){
		left++;
	}
	arr[right]=arr[left];
	}
	//将之前的基准数放进碰头位置（交换）
	arr[left]=data;
	return left;
}
public static void main(String[] args) {
	int arr[]={7,2,6,4,8,3,5};
	QuickSort qs=new QuickSort();
	qs.sort(arr, 0, arr.length-1);
	for(int i=0;i<arr.length;i++){
		System.out.print(arr[i]+" ");
	}
}
}