Day17.数据结构和算法

数据结构和算法

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前言

数据结构和算法算是程序员必经之路吧，也是最痛苦的路了。如果把这两者弄清楚了，相信再差也差不到哪里去吧。而个人关于数据结构和算法的理解如下：

数据结构就是对解决的问题进行建模分析，理解其大致的过程。

而算法就是解决问题的方法和步骤嘛。

评价算法的好坏：一般是渐近时间复杂度和渐近空间复杂度。

下面展示了几种常见问题的渐近时间复杂度的大O标记：

• $O(c)$ - 常量时间复杂度 - 布隆过滤器 / 哈希存储
• $O(lo{g}_{2}n)$ - 对数时间复杂度 - 折半查找（二分查找）
• $O(n)$ - 线性时间复杂度 - 顺序查找 / 计数排序
• $O(n\ast lo{g}_{2}n)$ - 对数线性时间复杂度 - 高级排序算法（归并排序、快速排序）
• $O(n^2)$ - 平方时间复杂度 - 简单排序算法（选择排序、插入排序、冒泡排序）
• $O(n^3)$ - 立方时间复杂度 - Floyd算法 / 矩阵乘法运算
• $O(2^n)$ - 几何级数时间复杂度 - 汉诺塔
• $O(n!)$ - 阶乘时间复杂度 - 旅行经销商问题 - NPC

下面是这些复杂度的图形直观展示

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一. 数据结构

1.1 冒泡排序

冒泡排序 – O（n ** 2）：两两比较，大的下沉
35, 97, 12, 68, 55, 73, 81, 40
35, 12, 68, 55, 73, 81, 40, [97]
12, 35, 55, 68, 73, 40, [81]
12, 35, 55, 68, 40, [73]

1.2 选择排序

选择排序 – O（n ** 2）：每次从生下元素中选择最小的

1.3 归并排序

归并排序 – O（n * log2_n）：高级排序算法
35, 97, 12, 68, 55, 73, 81, 40
[35, 97, 12, 68], [55, 73, 81, 40]
[35, 97], [12, 68], [55, 73], [81, 40]
[35], [97], [12], [68], [55], [73], [81], [40]
[35, 97], [12, 68], [55, 73], [40, 81]
[12, 35, 68, 97], [40, 55, 73, 81]
[12, 35, 40, 55, 68, 73, 81, 97]

1.4 快速排序

快读排序 – O（n * log2_n）：以枢轴为界将列表中的元素划分为两个部分，左边都比钮轴小，右边都比钮轴大
35, 97, 12, 68, 55, 73, 81, 40
35, 12, [40], 68, 55, 73, 81, 97
[12], 35, [40], 68, 55, 73, 81, [97]
[12], 35, [40], 55, [68], 73, 81, [97]
[12], 35, [40], 55, [68], 73, [81], [97]

二. 算法（数据结构的实现）

2.1 排序算法

def select_sort(items, comp=lambda x, y: x < y):
    """简单选择排序"""
    items = items[:]
    for i in range(len(items) - 1):
        min_index = i
        for j in range(i + 1, len(items)):
            if comp(items[j], items[min_index]):
                min_index = j
        items[i], items[min_index] = items[min_index], items[i]
    return items


def bubble_sort(items, comp=lambda x, y: x > y):
    """冒泡排序"""
    items = items[:]
    for i in range(len(items) - 1):
        swapped = False
        for j in range(len(items) - 1 - i):
            if comp(items[j], items[j + 1]):
                items[j], items[j + 1] = items[j + 1], items[j]
                swapped = True
        if not swapped:
            break
    return items


def bubble_sort(items, comp=lambda x, y: x > y):
    """搅拌排序(冒泡排序升级版)"""
    items = items[:]
    for i in range(len(items) - 1):
        swapped = False
        for j in range(len(items) - 1 - i):
            if comp(items[j], items[j + 1]):
                items[j], items[j + 1] = items[j + 1], items[j]
                swapped = True
        if swapped:
            swapped = False
            for j in range(len(items) - 2 - i, i, -1):
                if comp(items[j - 1], items[j]):
                    items[j], items[j - 1] = items[j - 1], items[j]
                    swapped = True
        if not swapped:
            break
    return items

def merge(items1, items2, comp=lambda x, y: x < y):
    """合并(将两个有序的列表合并成一个有序的列表)"""
    items = []
    index1, index2 = 0, 0
    while index1 < len(items1) and index2 < len(items2):
        if comp(items1[index1], items2[index2]):
            items.append(items1[index1])
            index1 += 1
        else:
            items.append(items2[index2])
            index2 += 1
    items += items1[index1:]
    items += items2[index2:]
    
    return items

def merge_sort(items, comp=lambda x, y: x < y):
      return _merge_sort(list(items), comp)
  

def _merge_sort(items, comp):
    """归并排序"""
    if len(items) < 2:
        return items
    mid = len(items) // 2
    left = _merge_sort(items[:mid], comp)
    right = _merge_sort(items[mid:], comp)
    
    return merge(left, right, comp)

2.2 查找算法

def seq_search(items, key):
    """顺序查找"""
    for index, item in enumerate(items):
        if item == key:
            return index
    return -1


def bin_search(items, key):
    """折半查找"""
    start, end = 0, len(items) - 1
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        if key > items[mid]:
            start = mid + 1
        elif key < items[mid]:
            end = mid - 1
        else:
            return mid
    return -1

2.3 常用算法

1. 穷举法 - 又称为暴力破解法，对所有的可能性进行验证，直到找到正确答案。
2. 贪婪法 - 在对问题求解时，总是做出在当前看来
3. 最好的选择，不追求最优解，快速找到满意解。
4. 分治法 - 把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到可以直接求解的程度，最后将子问题的解进行合并得到原问题的解。
5. 回溯法 - 回溯法又称为试探法，按选优条件向前搜索，当搜索到某一步发现原先选择并不优或达不到目标时，就退回一步重新选择。
6. 动态规划 - 基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解并保存这些子问题的解，避免产生大量的重复运算。

穷举法例子：百钱百鸡和五人分鱼。

# 公鸡5元一只 母鸡3元一只 小鸡1元三只
# 用100元买100只鸡 问公鸡/母鸡/小鸡各多少只
for x in range(20):
    for y in range(33):
        z = 100 - x - y
        if 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100 and z % 3 == 0:
            print(x, y, z)

# A、B、C、D、E五人在某天夜里合伙捕鱼 最后疲惫不堪各自睡觉
# 第二天A第一个醒来 他将鱼分为5份 扔掉多余的1条 拿走自己的一份
# B第二个醒来 也将鱼分为5份 扔掉多余的1条 拿走自己的一份
# 然后C、D、E依次醒来也按同样的方式分鱼 问他们至少捕了多少条鱼
fish = 6
while True:
    total = fish
    enough = True
    for _ in range(5):
        if (total - 1) % 5 == 0:
            total = (total - 1) // 5 * 4
        else:
            enough = False
            break
    if enough:
        print(fish)
        break
    fish += 5

贪婪法例子：假设小偷有一个背包，最多能装20公斤赃物，他闯入一户人家，发现如下表所示的物品。很显然，他不能把所有物品都装进背包，所以必须确定拿走哪些物品，留下哪些物品。

名称	价格（美元）	重量（kg）
电脑	200	20
收音机	20	4
钟	175	10
花瓶	50	2
书	10	1
油画	90	9

"""
贪婪法：在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，不追求最优解，快速找到满意解。
输入：
20 6
电脑 200 20
收音机 20 4
钟 175 10
花瓶 50 2
书 10 1
油画 90 9
"""
class Thing(object):
    """物品"""

    def __init__(self, name, price, weight):
        self.name = name
        self.price = price
        self.weight = weight

    @property
    def value(self):
        """价格重量比"""
        return self.price / self.weight


def input_thing():
    """输入物品信息"""
    name_str, price_str, weight_str = input().split()
    return name_str, int(price_str), int(weight_str)


def main():
    """主函数"""
    max_weight, num_of_things = map(int, input().split())
    all_things = []
    for _ in range(num_of_things):
        all_things.append(Thing(*input_thing()))
    all_things.sort(key=lambda x: x.value, reverse=True)
    total_weight = 0
    total_price = 0
    for thing in all_things:
        if total_weight + thing.weight <= max_weight:
            print(f'小偷拿走了{thing.name}')
            total_weight += thing.weight
            total_price += thing.price
    print(f'总价值: {total_price}美元')


if __name__ == '__main__':
    main()

快速排序 - 选择枢轴对元素进行划分，左边都比枢轴小右边都比枢轴大

def quick_sort(items, comp=lambda x, y: x <= y):
    items = list(items)[:]
    _quick_sort(items, 0, len(items) - 1, comp)
    return items


def _quick_sort(items, start, end, comp):
    if start < end:
        pos = _partition(items, start, end, comp)
        _quick_sort(items, start, pos - 1, comp)
        _quick_sort(items, pos + 1, end, comp)


def _partition(items, start, end, comp):
    pivot = items[end]
    i = start - 1
    for j in range(start, end):
        if comp(items[j], pivot):
            i += 1
            items[i], items[j] = items[j], items[i]
    items[i + 1], items[end] = items[end], items[i + 1]
    
    return i + 1

回溯法例子：骑士巡逻。

"""
递归回溯法：叫称为试探法，按选优条件向前搜索，当搜索到某一步，发现原先选择并不优或达不到目标时，就退回一步重新选择，比较经典的问题包括骑士巡逻、八皇后和迷宫寻路等。
"""
import sys
import time

SIZE = 5
total = 0


def print_board(board):
    for row in board:
        for col in row:
            print(str(col).center(4), end='')
        print()


def patrol(board, row, col, step=1):
    if row >= 0 and row < SIZE and \
        col >= 0 and col < SIZE and \
        board[row][col] == 0:
        board[row][col] = step
        if step == SIZE * SIZE:
            global total
            total += 1
            print(f'第{total}种走法: ')
            print_board(board)
        patrol(board, row - 2, col - 1, step + 1)
        patrol(board, row - 1, col - 2, step + 1)
        patrol(board, row + 1, col - 2, step + 1)
        patrol(board, row + 2, col - 1, step + 1)
        patrol(board, row + 2, col + 1, step + 1)
        patrol(board, row + 1, col + 2, step + 1)
        patrol(board, row - 1, col + 2, step + 1)
        patrol(board, row - 2, col + 1, step + 1)
        board[row][col] = 0


def main():
    board = [[0] * SIZE for _ in range(SIZE)]
    patrol(board, SIZE - 1, SIZE - 1)


if __name__ == '__main__':
    main()

动态规划例子：子列表元素之和的最大值。

说明：子列表指的是列表中索引（下标）连续的元素构成的列表；列表中的元素是int类型，可能包含正整数、0、负整数；程序输入列表中的元素，输出子列表元素求和的最大值，例如：

输入：1 -2 3 5 -3 2

输出：8

输入：0 -2 3 5 -1 2

输出：9

输入：-9 -2 -3 -5 -3

输出：-2

def main():
    items = list(map(int, input().split()))
    overall = partial = items[0]
    for i in range(1, len(items)):
        partial = max(items[i], partial + items[i])
        overall = max(partial, overall)
    print(overall)


if __name__ == '__main__':
    main()

注：这个题目最容易想到的解法是使用二重循环，但是代码的时间性能将会变得非常的糟糕。使用动态规划的思想，仅仅是多用了两个变量，就将原来$O(N^2)$复杂度的问题变成了$O(N)$。

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总结

今天就是简单的认识了一下这些常见的数据结构和算法。唉，应该还谈不上理解和掌握吧，毕竟好多还没有搞懂，要自己动手敲出来才是王道。加油，像大佬们看齐。。。

脑壳疼，溜了遛了。Loading（17/100）。。。