【每日一题Day264】LC931下降路径最小和 | dp

下降路径最小和【LC931】

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

• 思路

  dp，定义$dp[i][j]$为移动到该位置的最小和，那么答案为$min(dp[n-1][j])$

  • 状态转移：

    具体来说，位置 (row, col) 的上一个元素应当是 (row - 1, col - 1)、(row - 1, col) 或者 (row - 1, col + 1)，因此
    $$dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])$$

• 实现

  • 转化为一维dp，使用变量记录$dp[i-1][j-1]$的值
  • 为了方便边界处理，将dp数组左边增加一列，右边增加一列

  class Solution {
      public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
          int n = matrix[0].length;
          if (n == 1) return matrix[0][0];
          int[] dp = new int[n + 2];
          System.arraycopy(matrix[0], 0, dp, 1, n);
          dp[0] = dp[n + 1] = Integer.MAX_VALUE;
          int res = Integer.MAX_VALUE;      
          for (int i = 1; i < n; i++){
              int pre = dp[0];
              for (int j = 0; j < n; j++){
                  int tmp = pre;
                  pre = dp[j + 1];
                  dp[j + 1] = Math.min(tmp, Math.min(dp[j + 1], dp[j + 2])) + matrix[i][j];
              }            
          }
          for (int j = 1; j <= n; j++){
              res = Math.min(res, dp[j]);
          }
          return res;
  
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(n^2)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$