【每日一题Day17】LC754到达终点数字|数学 等差数列

到达终点数字【LC754】

You are standing at position 0 on an infinite number line. There is a destination at position target.

You can make some number of moves numMoves so that:

• On each move, you can either go left or right.
• During the ith move (starting from i == 1 to i == numMoves), you take i steps in the chosen direction.

Given the integer target, return the minimum number of moves required (i.e., the minimum numMoves) to reach the destination.

在一根无限长的数轴上，你站在0的位置。终点在target的位置。

你可以做一些数量的移动 numMoves :

• 每次你可以选择向左或向右移动。
• 第 i 次移动（从 i == 1 开始，到 i == numMoves ），在选择的方向上走 i 步。

给定整数 target ，返回 到达目标所需的 最小 移动次数(即最小 numMoves ) 。

还好dp、递归写不出来，就直接看题解了，这不是我能想到的方法

• 思路

  1. 数轴上的任意点都以起点（0 点）对称，只需要考虑对称点的任意一边

     左边所能到达任意一个点，都能通过调整所达路径的方向来将终点调整到右边。

  2. 先往靠近 target 的方向移动，到达或越过 target 的时候则停止

     • 若能直接到达 target，此时消耗的必然是最小步数，可直接返回；
     • 若越过了target，那么需要考虑是否需要增加额外步数到达target

  3. 我们假设需要调整的步数总和为tot，则有$ dist−2×tot=target$，变形可得$tot = \frac{dist - target}{2}$

     • 当tot为整数时，即$ dist−target$为偶数时，不需要引入额外步数，只需要将某些数反向即可
     • 当tot不为整数时，即$ dist−target$为奇数时，只能引入额外步数，继续往右走，使两者差值为偶数

• 实现

  class Solution {
      public int reachNumber(int target) {
          while (target < 0){
              target = -target;
          }
          int dis = 0;
          int i = 1;
          while (dis < target || (dis > target && (dis - target) % 2 == 1 ) ){
              dis += i;
              i++;
          }       
          return i - 1;
      }
  }
  

• 复杂度

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

• 代码优化：利用等差数列的性质，找到第一个$S_k>=target$

  • 等差数列前n项和计算公式

  $$S_n=\frac{(n+1)\ast (a_0+a_n)}{2}$$

  $$a_n=a_0+n\ast d$$

  • 当$a_0=0、a_1=1$、当前步数为k、d=1时，

  $$S_k=\frac{k\ast (k+1)}{2}$$

  • 首先找到第一个$S_k>=target$，$k=sqrt(2\ast target)$，此时移动的距离为$S_k$

  • 代码

    只需判断是否需要进行额外移动，额外移动最多4次

    class Solution {
        public int reachNumber(int target) {
            if (target < 0) target = -target;
            int k = (int) Math.sqrt(2 * target) , dist = k * (k + 1) / 2;
            while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
                k++;
                dist = k * (k + 1) / 2;
            }
            return k;
        }
    }
    
    

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(1)$
    • 空间复杂度：$O(1)$