【每日一题Day183】LC1187使数组严格递增 | dp

使数组严格递增【LC1187】

给你两个整数数组 arr1 和 arr2，返回使 arr1 严格递增所需要的最小「操作」数（可能为 0）。

每一步「操作」中，你可以分别从 arr1 和 arr2 中各选出一个索引，分别为 i 和 j，0 <= i < arr1.length 和 0 <= j < arr2.length，然后进行赋值运算 arr1[i] = arr2[j]。

如果无法让 arr1 严格递增，请返回 -1。

很难呀 需要消化（为什么有时候感觉自己很聪明 有时候感觉很笨笨）

• 思路

  • 首先很容易想到的是，将arr2排序，如果$arr1[i]<=arr1[i-1]$，为了满足递增我们应该将$arr1[i-1]$替换为arr2中小于$arr1[i]$的最大值【二分查找】（我就想到这里，没有想到还要用dp）

  • 然后，使数组arr1前$i$个元素严格递增需要的最小「操作」数可以由之前的状态转移得到【替换或者不替换，替换的值取决于下一个元素的大小（本题限制因素）】，因此可以定义状态$dp[i]$为将arr1[0:i]转化为严格递增数组，并且$arr[i]$不做替换的最小操作数

    • 确定 base case，初始状态的值：$dp[0]=0，dp[i]=\infty$

    • 确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。

      本题中状态为数组最后一个值，影响是否需要改变的次数

    • 确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。

      如果$arr1[i]>=arr1[i-1]$，那么不需要替换，$dp[i]=dp[i-1]$

      如果$arr1[i]<arr1[i-1]$，那么我们需要将$arr1[i-1]$替换为为arr2中小于$arr1[i]$的最大值$arr2[j]$，然后在$k\in [1,min(i-1,j)]$的范围内枚举需要替换的个数，如果满足$arr[i-k-1]<arr[j-k]$，那么将区间$arr1[i-k+1,i-1]$替换为$arr2[j-k,j]$，$dp[i]$可以从$dp[i-k-1]$转移而来。

      因此状态转移方程为
      $$dp[i+1]=mi{n}_{k=1}^{min(i-1,j)}(dp[i-k-1]+k)$$

• 实现

  class Solution {
      public int makeArrayIncreasing(int[] arr1, int[] arr2) {
          Arrays.sort(arr2);
          int m = 0;
          for (int x : arr2) {
              if (m == 0 || x != arr2[m - 1]) {
                  arr2[m++] = x;
              }
          }
          final int inf = 1 << 30;
          int[] arr = new int[arr1.length + 2];
          arr[0] = -inf;
          arr[arr.length - 1] = inf;
          System.arraycopy(arr1, 0, arr, 1, arr1.length);
          int[] f = new int[arr.length];
          Arrays.fill(f, inf);
          f[0] = 0;
          for (int i = 1; i < arr.length; ++i) {
              if (arr[i - 1] < arr[i]) {
                  f[i] = f[i - 1];
              }
              int j = search(arr2, arr[i], m);
              for (int k = 1; k <= Math.min(i - 1, j); ++k) {
                  if (arr[i - k - 1] < arr2[j - k]) {
                      f[i] = Math.min(f[i], f[i - k - 1] + k);
                  }
              }
          }
          return f[arr.length - 1] >= inf ? -1 : f[arr.length - 1];
      }
  
      private int search(int[] nums, int x, int n) {
          int l = 0, r = n;
          while (l < r) {
              int mid = (l + r) >> 1;
              if (nums[mid] >= x) {
                  r = mid;
              } else {
                  l = mid + 1;
              }
          }
          return l;
      }
  }
  
  作者：ylb
  链接：https://leetcode.cn/problems/make-array-strictly-increasing/solutions/2236262/python3javacgotypescript-yi-ti-yi-jie-do-j5ef/
  来源：力扣（LeetCode）
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  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(n(logm+min(n,m)))$，arr1和arr2数组长度分别为n和m
    • 空间复杂度：$O(n)$

• 变形题：respect灵神