【每日一题Day182】LC1043分隔数组以得到最大和 | dp

分隔数组以得到最大和【LC1043】

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度 最多 为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。本题所用到的测试用例会确保答案是一个 32 位整数。

二十分钟 满足了

• 思路

  使用动态规划，将前$i$个元素进行分割的最大和，可以枚举分割点由之前的状态转移得到，因此可以定义状态$dp[i+1]$为将前$i$个元素分隔变换后能够得到的元素最大和

  • 明确 dp 函数/数组的定义。

    定义状态$dp[i+1]$为将前$i$个元素分隔变换后能够得到的元素最大和

  • 确定 base case，初始状态的值：$dp[0]=0$

  • 确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。

    本题中状态为分隔变换后能够得到的元素最大和

  • 确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。

    第$i$个元素最长可以分割的子数组为$nums[i-k+1:i]$，因此可以枚举与$nums[i]$为一组的左端点$j\in [i-k+1,i]$，此时的最大和为将$nums[0:j-1]$进行分割的最大值与$nums[j:i]$变换后的值之和

    。实现时，使用变量记录当前子数组$nums[j:i]$中元素的最大值$mx$，于是可以得到状态转移方程
    $$dp[i+1]=ma{x}_{j=i}^{i-k+1}(dp[j]+mx\ast (i-j+1))$$

• 实现

  class Solution {
      public int maxSumAfterPartitioning(int[] arr, int k) {
          int n = arr.length;
          int[] dp = new int[n + 1];       
          for (int i = 0; i < n; i++){
              int mx = arr[i];
              for (int j = i; j >= Math.max(0, i - k + 1); j--){
                  mx = Math.max(mx, arr[j]);
                  dp[i + 1] = Math.max(dp[i + 1], dp[j] + mx * (i - j + 1));
              }
          }
          return dp[n];
  
      }
  }
  

  • 复杂度

    • 时间复杂度：$O(nk)$
    • 空间复杂度：$O(n)$