POJ 1088 滑雪（记忆化、动态规划、排序优化）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Tianweidadada/article/details/82942938

本文探讨了一个滑雪路径寻找问题，目标是确定在一个给定的地形上最长的连续下滑路径。通过两种算法解决：记忆化搜索和动态规划。前者利用递归方式高效地避免重复计算，后者通过对高度排序的点进行遍历优化，实现快速求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

滑雪

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 65536K
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Description

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

 1  2  3  4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

方法一：记忆化搜索

状态 $dp[i][j]$ 表示以 (i,j) 为最低点的最长长度

$dp[i][j] = max(dp[i][j],max(dp[i-1][j],dp[i+1][j],dp[i][j+1],dp[i][j-1]) + 1)$

code:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 105;
int R,C;
int dp[N][N];
int a[N][N];

// 判断合法性
int ok(int i, int j){
    if(i >= 1 && i <= R && j >= 1 && j <= C)
        return true;
    return false;
}

int max_h;
// 在相邻的 不越界的位置记忆化搜索 每次搜索 表示 当前位置为最低点 的最长长度
int rec(int i, int j){
    if(dp[i][j] != 1)
        return dp[i][j];
    int &ans = dp[i][j];
    if(ok(i+1,j) && a[i+1][j] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i+1,j) + 1);
    if(ok(i-1,j) && a[i-1][j] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i-1,j) + 1);
    if(ok(i,j+1) && a[i][j+1] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i,j+1) + 1);
    if(ok(i,j-1) && a[i][j-1] > a[i][j])
        ans = max(ans,rec(i,j-1) + 1);
    return ans;
}

int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&R,&C) != EOF){
            max_h = 0;
            for(int i = 1; i <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    scanf("%d",&a[i][j]);
                    dp[i][j] = 1;
                }
            }

           for(int i = 1; i <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    max_h = max(rec(i,j),max_h);  //每一次 的rec(i,j) 是以 (i,j) 为终点的 最长路径 不需要重新初始化
                }
           }
            printf("%d\n",max_h);
        }

        return 0;
    }

此题记忆化搜索速度较快

方法二：记录每个高度的坐标，对高度从小到大排序，然后进行dp

定义状态:

$dp[i]$ 为以 $i$ 为最高点的最长长度

状态转移方程：

$dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1)$

其中： $j 为与 i相邻的并且高度低于 i 的$ 为与 $i$ 相邻的并且高度低于 $i$ 的

code:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N = 105;
struct H{
    int h,x,y;
    H(){}
    H(int ph,int px,int py):h(ph),x(px),y(py){}
    bool operator<(const H o)const {
        return h < o.h;
    }
};
H hs[N*N];
int dp[N*N];
int my_abs(int a, int b){
    return a > b ? a-b : b-a;
}

bool adj(int x1,int y1, int x2, int y2){
    if(x1 == x2 && my_abs(y1,y2) == 1)
        return true;
    if(y1 == y2 && my_abs(x1,x2) == 1)
        return true;
    return false;
}

int main()
    {
        int R,C;
        int h;
        while(scanf("%d%d",&R,&C) != EOF){
            int cnt = 1;
            for(int i = 1;i  <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    scanf("%d",&h);
                    hs[cnt++] = H(h,i,j);
                }
            }
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            sort(hs+1,hs+cnt);
            for(int i = 1; i <= R*C; ++i){ // 初始化
                dp[i] = 1;
            }
            int ans = 0;
            for(int i = 1; i <= R*C; ++i){
                for(int j = 1; j < i; ++j){
                    if(adj(hs[i].x,hs[i].y,hs[j].x,hs[j].y) && hs[i].h > hs[j].h){ // 相邻 且高度上升
                        dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
                    }
                }
                ans = max(ans,dp[i]);
            }
            printf("%d\n",ans);
        }


        return 0;
    }

这种方法很耗时，要 800ms 才AC,其实不需要遍历从i 到 j 找相邻点，可以直接判断相邻点满足条件与否，下面是改进

可以在 32ms甚至 16ms AC。

方法二的优化：

状态 $dp[i][j]$ 位置 $（i,j）$ $(i,j)$ 为最高点的最长路径

状态转移：

$dp[i][j] = max(dp[i][j],max(dp[x][y]) + 1)$

其中 $(x,y)$ 为与 $(i,j)$ 相邻并且高度小于位置 $(x,y)$ 的点。

注意：这里与 (i,j) 相邻并且高度低于 $(i,j)$ 的点一定位于递推式的第 $i$ 步之前。（因为已经按照高度排序了）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 105;

int a[N][N];
int dp[N][N];
struct H{
    int h,x,y;
    H(){}
    H(int ph,int px, int py):h(ph),x(px),y(py){}
    bool operator<(const H o)const{
        return h < o.h;
    }
};
H hs[N*N];
int dir[4][2] = {{-1,0},{0,1},{1,0},{0,-1}};
/*
    优化的地方：
    用 a[][] 数组 初始化 为 -1 可以快速 判断 是否越界 （输入完成后越界的为 -1 非越界的不为 -1）
    不再是 从 j 遍历到 i 找与 i 相邻 的节点 而是 直接从相邻点中找满足条件的(高度更小、不越界) 这样会快 很多
*/
int main()
    {
            int R,C;
            scanf("%d%d",&R,&C);
            memset(a,-1,sizeof(a));
            int h;
            int cnt = 1;
            for(int i = 1; i <= R; ++i){
                for(int j = 1; j <= C; ++j){
                    scanf("%d",&h);
                    hs[cnt++] = H(h,i,j);
                    a[i][j] = h;
                }
            }
            sort(hs+1,hs+cnt);
            //fill(dp[0],dp[0]+N*N,1); // 如果 不初始化为 1 则结果需要加 1 （自身）  
            int curx,cury,nx,ny,curh;
            int ans = 0;
            for(int i = 1; i < cnt; ++i){
                curx = hs[i].x; cury = hs[i].y; curh = hs[i].h;
                for(int k = 0; k < 4; ++k){
                    nx = curx + dir[k][0];
                    ny = cury + dir[k][1];
                    if(a[nx][ny] != -1 && a[nx][ny] < curh) // 满足 不越界 并且相邻 然后 高度小于当前高度的 肯定在前面 也就是 已经计算过了的之前状态
                        dp[curx][cury] = max(dp[curx][cury],dp[nx][ny] + 1);
                }
                ans = max(ans,dp[curx][cury]);
            }
            printf("%d\n",ans+1);

        return 0;
    }