洛谷P2678跳石头

原创已于 2024-05-10 10:11:53 修改 · 1.4k 阅读

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#算法

于 2024-03-10 14:14:40 首次发布

文章介绍了通过二分法确定在跳石头比赛中，在移除一定数量岩石的条件下，如何找到使最短跳跃距离最大的策略。涉及的关键词包括起点距离数组、移除操作和二分查找算法的应用。

题目描述

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了！

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 L,N,M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L≥1 且 N≥M≥0。

接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 Di(0<Di<L)，表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

输入输出样例 1 说明

将与起点距离为 2 和 14 的两个岩石移走后，最短的跳跃距离为 4（从与起点距离 17 的岩石跳到距离 21 的岩石，或者从距离 21 的岩石跳到终点）。

数据规模与约定

对于 20%的数据，0≤M≤N≤10。
对于 50% 的数据，0≤M≤N≤100。
对于 100% 的数据，0≤M≤N≤50000,1≤L≤ $10^{9}$ 。

首先要膜拜b站巨佬小金鱼。这道题毫不夸张地说写了3个小时。

简单来说，这道题依然是二分答案，输出的是最小距离的最大值，那么就需要对距离二分查找（枚举肯定是过不了的），假设最小距离的最大值为x,那么我们就需要保证每个间距都必须大于或等于x,这就是check函数所实现的内容。所以先写二分的部分就是这样：

int binary(){
    int l=0,r=L+1;
    while(l+1<r){
        int mid=(l+r)>>1;//等于（l+r）/2
        if(check(mid))l=mid;
        else r=mid;
    }
}

这里面L是最开始输入的赛道的总长，然后开始二分。加入中间的某一点是我们的最终答案，也就是跳跃最小距离的最大值。那么，这个值越小，需要移走的石头就越少（你品，你细品），也就是说反之，这个值增大，我们需要移走的石头就越多，因为这个值x是最终答案，所以场上不能有比x更小的距离出现，所以比x越小，移走的石头就越少，那么就越小于m（题目中给的允许移走石头的数量），所以在x取到某一点时，移走的石头刚好等于m，这时候x的取值就是我们要找的答案。当x减小时，m移走石头的数量也会减小，只要不大于m都符合题意，当x上升时，移走数量增多，会大于m，这就不符合题目了，就是下面图片的含义，

所以二分查找的目的找的就是x的临界，在x左边移走石头数量小于m，在x右边移走石头数量大于m，左边符合右边不符合。

所以check函数的作用就是判断当前的x取值是否能让移走石头的数量小于等于m，如果小于等于返回true，反之，返回false。

在写check函数时需要注意用一个变量cnt来记录移走石头的数量，如果cnt<=m，那么x取值就符合，返回true，否则返回false。check函数代码如下

（注意L和l的区分，一个是赛道长度，一个是左指针）

int cont[50010];
bool check(int x){
    int cnt=0,i=0,now=0;
    while(i<n+1){
        i++;
        while(cont[i]-cont[now]<x){
            cnt++;
            if(i<n+1)i++;
            else {
                if(cnt<=m)return true;
                else return false;
            }
        }
        now=i;
    }
    if(cnt<=m)return true;
    else return false;
}

cont就是用来存放每块石头与起点距离的数组，用双指针（i和now）的方式计算两个石头直接的距离。一旦i与now的距离小于x，cnt++，cnt记录跳过石头的数量。如果拿走一个石头后合并的距离还是小于x，那就需要继续拿，所以有了内部的while循环，拿石头知道距离大于或等于x才停止，继续往后走，当外层while每走一遍之后，now=i，此时能保证在now之前的所有两个石头之间的距离都要大于等于x，最后cnt如果符合条件返回true，否则返回false。随后回到binary函数中，如果返回true，说明，mid的值所取到的移走石头的数量是符合m条件的所以让l等于mid，因为我们要找的时一个临界值，左边取到的值都符合m，右边都大于m。所以每次二分之后，l的值都是目前最符合题意的，一定是目前，因为可能有更贴合题意的x值还没有搜索到。

下面是整体代码：

//跳石头
#include "iostream"
using namespace std;
int L,n,m;
int cont[50010];
bool check(int x){
    int cnt=0,i=0,now=0;
    while(i<n+1){
        i++;
        while(cont[i]-cont[now]<x){
            cnt++;
            if(i<n+1)i++;
            else {
                if(cnt<=m)return true;
                else return false;
            }
        }
        now=i;
    }
    if(cnt<=m)return true;
    else return false;
}
int binary(){
    int l=0,r=L+1;
    while(l+1<r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))l=mid;
        else r=mid;
    }
    return l;
}
int main(){
    cin>>L>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>cont[i];
    cont[0]=0,cont[n+1]=L;//这两个是起点和终点的两个石头
    cout<<binary();
}

与路标设置非常像，可以配合练习。

字有点多，大家有耐心点慢慢看，不明白的地方可以点出来，我尽量解答。